2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5

2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5

‎5.3.2　事件之间的关系与运算 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.了解事件的包含与相等的含义及概率关系．‎ ‎2．理解事件和(并)、积(交)运算的含义及其概率关系．‎ ‎3．理解事件的互斥与对立关系，掌握互斥事件的概率加法公式．‎ ‎4．会进行事件的混合运算．‎ 通过本节课的学习，进一步提升学生的数学抽象、数学运算素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 事件的包含与相等 ‎ (1)包含关系 一般地，如果事件A__发生__时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)，记作A⊆B(或B⊇A)．用图形表示为：‎ ‎(2)相等关系 如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“__A与B相等__”，记作A＝B．‎ 思考：如果两个事件相等，则这两个事件的样本点有什么关系？‎ 提示：如果两个事件相等，则它们的样本点完全相同．‎ 即：A＝B⇔A⊆B且B⊆A⇔A与B有相同的样本点．‎ 知识点 和事件与积事件 ‎ (1)事件的和(并)‎ - 6 -‎ 给定事件A，B，由__所有__A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)，记作A＋B(或A∪B)．‎ 事件A与B的和可以用如图中的阴影部分表示．‎ ‎(2)事件的积(交)‎ 给定事件A，B，由A与B中的__公共样本点__组成的事件称为A与B的积(或交)，记作AB(或A∩B)．‎ 事件A与事件B的积可以用如图中的阴影部分表示．‎ 思考：“A∩B＝∅”的含义是什么？‎ 提示：在一次试验中，事件A、B不可能同时发生．‎ 知识点 事件的互斥与对立 给定事件A，B，若事件A与B__不能同时__发生，则称A与B互斥，记作AB＝∅(或A∩B＝∅)．‎ 互斥事件的概率加法公式：若A与B互斥(即A∩B＝∅)，则：P(A＋B)＝__P(A)＋P(B)__．‎ 若A∩B为__不可能__事件，A∪B为__必然__事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．事件A的对立事件记为：，则：P(A)＋P()＝__1__．‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 事件关系的判断 ‎┃┃典例剖析__■‎ - 6 -‎ ‎　典例1　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：‎ ‎(1)请列举出符合包含关系、相等关系的事件；‎ ‎(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．‎ ‎[解析]　(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3．‎ 同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，F，G；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5．‎ 且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1．‎ ‎(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5，E＝F＋G．‎ 规律方法：事件间运算方法 ‎1．利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．‎ ‎2．利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．某市体操队有6名男生，4名女生，现任选3人去参赛，设事件A＝{选出的3人有1名男生，2名女生}，事件B＝{选出的3人有2名男生，1名女生}，事件C＝{选出的3人中至少有1名男生}，事件D＝{选出的3人中既有男生又有女生}．‎ 问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？‎ ‎(2)事件C与A的交事件是什么事件？‎ ‎[解析]　(1)对于事件D，可能的结果为1名男生2名女生，或2名男生1名女生，故D＝A∪B．‎ ‎(2)对于事件C，可能的结果为1名男生2名女生，2名男生1名女生，3名男生，故C∩A＝A．‎ 题型 互斥事件与对立事件的判断 ‎┃┃典例剖析__■‎ - 6 -‎ ‎　典例2　从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各4张)中，任取一张．‎ ‎(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；‎ ‎(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；‎ ‎(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．‎ ‎[解析]　(1)是互斥事件，不是对立事件．‎ 理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．‎ ‎(2)既是互斥事件，又是对立事件．‎ 理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．‎ ‎(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．‎ 理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．‎ 规律方法：互斥事件、对立事件的判定方法 ‎(1)利用基本概念 ‎①互斥事件不可能同时发生；‎ ‎②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．‎ ‎(2)利用集合的观点来判断 设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B．‎ ‎①事件A与B互斥，即集合A∩B＝∅；‎ ‎②事件A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝I，即A＝∁IB或B＝∁IA．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．从一批产品中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，则下列结论正确的是__①②⑤__(填写序号)．‎ ‎①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立．‎ ‎[解析]　A＝{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件，由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件．‎ 所以正确结论的序号为①②⑤．‎ 题型 - 6 -‎ 互斥事件概率加法公式的应用 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.计算这个运动员在一次射击中：‎ ‎(1)射中10环或9环的概率；‎ ‎(2)至少射中7环的概率．‎ ‎[解析]　设运动员射击一次，射中10环、9环、8环、7环、7环以下分别记为A，B，C，D，E，则P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，P(D)＝0.3，P(E)＝0.1．‎ ‎(1)∵A，B互斥，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3，即射中10环或9环的概率为0.3．‎ ‎(2)记F＝A＋B＋C＋D，∵E，F对立，‎ ‎∴P(F)＝1－P(E)＝1－0.1＝0.9，即P(A＋B＋C＋D)＝0.9，即至少射中7环的概率为0.9．‎ 规律方法：(1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A，B两事件互斥时才能使用，如果A，B不互斥，就不能应用这一公式．‎ ‎(2)利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：‎ ‎(1)甲获胜的概率；‎ ‎(2)甲不输的概率．‎ ‎[解析]　(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－－＝．‎ ‎(2)法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝．‎ 法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝.即甲不输的概率是．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ - 6 -‎ ‎　典例4　抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A＋B)．‎ ‎[错解]　设向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点分别记为事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，则它们两两是互斥事件，且A＝C1∪C3∪C5，B＝C1∪C2∪C3．‎ P(C1)＝P(C2)＝P(C3)＝P(C4)＝P(C5)＝P(C6)＝．‎ 则P(A)＝P(C1∪C3∪C5)＝P(C1)＋P(C3)＋P(C5)＝＋＋＝．‎ P(B)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝＋＋＝．‎ 故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝1．‎ ‎[辨析]　错解的原因在于忽视了“事件和”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解．‎ ‎[正解]　记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A∪B＝A1∪A2∪A3∪A4．‎ 故P(A＋B)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝．‎ - 6 -‎