数学（心得）之方程思想在平面几何计算中的应用

数学（心得）之方程思想在平面几何计算中的应用

数学论文之方程思想在平面几何计算中的应用 ‎ 数学论文之方程思想在平面几何计算中的应用 ‎ 数学论文之方程思想在平面几何计算中的应用 ‎ 数学论文之方程思想在平面几何计算中的应用 ‎ 摘  要：本文针对平面几何计算中学生无从下手的问题，提出应用代数方法解几何题的教学思路，并从实例出发阐述了这种解题思路对学生培养的意义和关键。关键词：方程思想；平面几何计算；数形结合在初中平面几何学习的初期，由于学生的逻辑思维能力和推理能力的欠缺，对解平面几何中的角的计算问题时，常常无从下手，或者推理推到死胡同而无法求解。同时，由于受定势思维的影响，学生在做几何题时，往往只想到几何里的公理、定理、方法，而在做代数题时，往往又只想到代数里的公式、法则、性质。缺少代数、几何知识的互相渗透，换位思考，更缺乏知识的灵活运用。如果能在解题中，经常尝试着用代数方法解几何题，用几何方法解代数题，这样对培养学生的思维能力有不少帮助。为此我在教学中做了这方面的尝试，收效较好。本文从解平面几何中的角的计算实例出发，浅析方程思想在平面几何计算中的应用。一、方程思想在平面几何计算中的应用实例实例1  如图，在Rt ABC中，CD是斜边AB边上的高，CE是∠ACB平分线。若 CED∽ ABC，则∠DCE的度数是（    ）。 x x 2xx C A B        E D A、30°   B、22.5°   C、20°    D、180°分析：为了解题方便，我们可结合已知条件把相等关系的角用相同的未知数标出来进行考虑。由几何知识容易得 CED∽ ABC∽ CBD ∴4x=90°   x=22.5° 50° A B C D E y y          x x 实例2 如图，在 ABC中，∠B=∠C，D是BC边上一点，∠BAD=50°。在AC边上取一点E，使AE=AB，则∠CDE的度数是（    ）。A、15°  B、20° C、25°    D、30° 分析：结合已知条件，由 ABD的外角得：∠EDC+x=50°+y          ①同理，由 ADE的外角得x=∠EDC +y            ②把②带入 ①就得∠EDC=25° D C E B 阿a AA阿a 实例3（成都市2006年八年级上期末调研考试题） 如图，在          ABCD中，Ｅ为BC边上的一点，且AB=AE，求证：                           （1）△ABC≌△EAD，          （2）若AE平分∠DAB,∠EAC=20°试求∠ACD的度数。问题（1）略，问题（2）在整个成都市学生的得分率中是比较低的，由于平时有这些训练，所以我们班的学生在做此题时方法比较多，以下是他们的解法：解法1：应用三角形的内角和定理和等边三角形知识来解。∵AB=AE ∴∠B=∠BEA∵△ABC≌△EAD ∴∠B=∠EAD  ∴△BEA是等边△∴∠BAE=60°  ∴∠BAC=60°+20°=80°∵ ABCD   ∴AB∥CD  ∴∠BAC=∠ACD ∴∠ACD=80°解法2：应用几何知识中两直线平行同旁内角互补入手加以解决。∵AB=AE ∴∠B=∠BEA ∵ ABCD  ∴BC∥AD  ∴∠BEA=∠EAD∵ AE平分∠DAB   ∴∠BAE=∠EAD   ∴∠B=∠BAE=∠EAD∵ ∠B+∠BAE+∠EAD=180°∴∠B=∠BAE=60°∴∠BAC=60°+20°=80°    ∵AB∥CD   ∴∠BAC=∠ACD=80°解法3：此方法结合解法1和解法2的思路把几何题转化成代数方程来处理的。∵ ABCD   ∴AB∥CD  ∴∠BAC=∠ACD  ∴∠BAC=∠BEA +20°设∠B=x°∠BEA=y°依题意得：                                        解方程得：        Y=60°     ∴∠ACD=60°+20°=80°解法4：抓住∠BAC=∠ACD这个等量关系式，列方程使问得到解决。∵ ABCD  ∴∠B=∠D  ∴AB∥CD ∴∠BAC=∠ACD∵AB=AE ∴∠B=∠BEA：∵ AE平分∠DAB   ∴∠BAE=∠EAD设∠BAE=∠EAD=x°则∠CAD= x°-20°在△ABE中∠B=∠D= （180°-x°）在△ACD中：∠ACD=180°-﹝ （180°-x°）+ x°-20°﹞=110°- x°而∠BAC= x°+20°∴x°+20°=110°- x°解得 x=60°∴∠ACD=∠BAC= x°+20°=60°+20°=80°解法5：利用四边形内角和等于360°，得方程使问得到解决。∵ ABCD  ∴∠B=∠D  ∠BAD=∠BCD∵AB=AE ∴∠B=∠BEA：∵         ABCD  ∴BC∥AD  ∴∠BEA=∠EAD∵ AE平分∠DAB   ∴∠BAE=∠EAD  ∴ ∠BAD=2∠B设∠B= x°则6x°=360°  ∴ x=60°∴∠BAC=60°+20°=80°∵AB∥CD   ∴∠BAC=∠ACD=80°‎ 从实例3的五种解法中，我们已经看到把几何计算题转化为代数方程来解有时更易。二、应用方程思想解平面几何计算题的意义1、培养学生的创新能力应用方程思想解平面几何计算题，不仅可以帮助学生找到解题的有效途径，培养学生的思维能力，更重要的是让学生懂得解几何题时可以破几何推理，把几何问题转化为代数方程加以解决；而且可启发学生运用几何方法与代数方法相结合，用化归转化、数形结合的思想来突破求解。从而拓展学生思维，培养学生创新意识和能力。2、培养学生的发散思维由应用方程思想解平面几何计算题的思路，很容易让学生展开联想：是否可用几何思想（方法）解方程问题？对数学感兴趣的学生还会向老师提出来，甚至做这方面的尝试。3、培养学生学习掌握学科内在联系和规律的意识和能力通过应用方程思想解平面几何计算题的讲解和练习，启发学生换位思维，不仅能加深学生对概念、法则、定理等基本知识的理解和掌握，更能使学生深入了解它们之间的关联及规律，引导学生掌握数学各分支的有关概念、法则、定理间的内在联系，从而知道学习一门课程，不仅要掌握有关知识点，更重要的是找到各知识点的联系。4、激发学生对数学的兴趣通过数形结合的方法解决数学问题，可以极大地引发学生的学习兴趣，并为进一步学习平面解析几何埋下伏笔。三、应用方程思想解平面几何计算题的关键在以上实例中，我们看到把角的计算题转化为代数方程的关键在于数形结合，即是否能准确抓住相等的量。因此，在引导学生求解平面几何计算题时，要特别注意以下几点：1、已知条件中出现的平角、角平分线、等腰三角形、等边三角形、直角三角形、两直线平行旁内同角互补等条件。找出这些条件中相等的量，利用这些等量建立方程式。2、提醒学生不要忘记三角形的内角和、三角形的外角等于它不相邻的两个内角的和等基本定理。根据这些量的关系建立方程式，再根据方程式建立方程组，可以使几何问题中的量之间的关系更加直观化，从而使问题简单化解决。3、在解方程应用题、不等式应用题、函数应用题等代数问题时，又需要画图形帮助理解题意，把文字，数量转化成几何图形才便于弄清题意。这种转化的思想，数形结合的思想在数学无处不在。所以我们在教学中要时时处处做个有心人，为学生的思维打开更广阔的天空。参考文献:1 胡光锑.数学新课程百问.北京师范大学出版社.20052 吴永军.备课新思维.教育科学出版社.20043广棣.平面几何中角的计算问题.中学数学教学参考.2005.9       ‎