数学（心得）之巧求初相角速解题

数学（心得）之巧求初相角速解题

数学论文之巧求初相角速解题 ‎ ‎      巧求初相角速解题                                                       ◎王卫华 求初相角是高中数学学习中的一个重要知识点，也是一个难点，涉及到求初相、相位、求三角函数解析式、分析图象性质、图象变化等题型，本文专门谈谈怎样求初相角．‎ 一、反代法 例1．(2003年全国高考文科题)函数y＝sin(x＋φ)(0≤x≤π)是R上的偶函数，则φ＝()‎ A．0B．π4‎ C．π2D．π 解：把φ＝0，π4，π2，π分别代入原函数验证，可知仅当φ＝π2时为偶函数，故选C．‎ 说明：一般的，如果题目是选择题，可用反代法的思路将选择枝代入检验，这可以大大节约时间，提高命中率．‎ 二、巧用图象与函数式之间的联系速求初相角 例2．已知如图是函数y＝2sin(ωx＋φ)的图象(其中φ＜π2)，那么()‎ A．ω＝1011，φ＝π6‎ B．ω＝1011，φ＝－π6‎ C．ω＝2，φ＝π6‎ D．ω＝2，φ＝－π6‎ 解：观察各选择答案可知，应有ω＞0，观察图象可看出，应有T＝2πω＜2π，∴ω＞1，故可排除A与B，由图象还可看出，函数y＝2sin(ωx＋φ)的图象是由函数y＝2sinωx的图象向左移而得到的，∴φ＞0，又可排除D，故选C．‎ 说明：在求解此题时，可充分利用图象与函数式之间的联系，也可用排除法来巧妙求解．在高考中主要考查已知函数图象或已知函数的性质求解析式，关键在于求A，ω，φ等三个量，反过来已知解析式可以画出其图象．‎ 别解：由图可知，点(0，1)和点(11π12，0)都是图象上的点将点(0，1)的坐标代入待定的函数式中，得2sinφ＝1，即sinφ＝12，又｜φ｜＜π2，∴φ＝π6．‎ 又由“五点法”作图可知，点(11π12，0)是“第五点”，所以ωx＋φ＝2π，即ω·1112π＋π6＝2π，解之得ω＝2，故选C．‎ 例3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π)图象的一个最高点(2，3)，由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6，0)，试求φ．‎ 解：由已知可得函数的周期T＝4×(6－2)＝16，‎ ‎∴ω＝2πT＝π8，又A＝3，∴y＝3sin(π8x＋φ)把(2，3)代入上式得：3＝sin(π8×2＋φ)·3，∴sin(π4＋φ)＝1，而0＜φ＜2π，‎ ‎∴φ＝π4，所求解析式为：y＝3sin(π8x＋π4)．‎ 评析：待定初相位时，既要思考过点，又要思考点所在的单调区间或五点中按序的第几个点，整体变量解出初相位．‎ 三、利用最值思想巧求初相角 例4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，｜φ｜＜π2）在同一周期内，‎ 当x＝π12时，y有最小值－2，当x＝7π12时，y有最大值2，求函数的解析式．‎ 分析：由y＝Asin(ωx＋φ)的图象易知A的值，在同一周期内，最高点与最低点横坐标之间的距离即T2，由此可求ω的值，再将最高(或低)点坐标代入可求φ．‎ 解：由题意A＝2，π2＝7π12－π12，∴T＝π＝2πω，∴ω＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)，又x＝π12时y＝2，∴2＝2sin(2×π12＋φ)，∴φ＋π6＝π2，∴φ＝π3．‎ ‎∴函数解析式为：y＝2sin(2x＋π3)．‎ 四、利用函数的奇偶性探求初相角 例5．(2003年江苏)已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0‎ ‎≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M(3π4，0)对称，且在区间［0，π2］上是单调函数，求φ的值．‎ 分析：抓住函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，且有f（－x）=f（x），这点是解决本题的关键．‎ 解：由f（x）是偶函数，得f（－x）=f（x）．‎ 即sin（－ωx+φ）=sin（ωx+φ），‎ ‎∴－cosφsinωx=cosφsinωx对任意x都成立，且ω＞0，所以得cosφ=0．‎ 依题设0≤φ≤π，所以得φ=π2．‎ 评析：函数的奇偶性是指判断y＝Asin(ωx＋φ)型的奇偶性，或已知奇偶性求参数．对于f(x)＝Asin(ωx＋φ)(φ≠0)，当φ＝kπ(k∈Z)，则函数f(x)为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)，则函数f(x)为偶函数；否则一定是非奇非偶函数．‎ 本小题考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力．‎ 五、由函数的对称性巧求初相 例6．（2005全国卷Ⅰ）设函数f(x)=sin(2x+φ)(－π    解：由图象知，将y=5sin(23x)的图象沿x轴向左平移π2个单位，就得到本题图象，故所求函数为y＝5sin23(x＋π2)，即y＝5sin(23x＋π3)．‎ 评析：在高考中对于图象的平移要引起重视，这是高考中一个重要知识点．‎ 九、借用辅助角将f(x)化为Asin(ωx+φ)的形式得到初相角 例10．已知函数f(x)=4sin2x+2sin2x－2，x∈R．求f(x)的初相角．‎ 解：f(x)=4sin2x+2sin2x－2=2sinx－2(1－2sin2x)=2sin2x－2cos2x=22sin(2x－π4)．故的初相为－π4．‎ 评析：一般来说，将其它形式的题转化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，如对所求函数式中的A、ω、φ不加限制(如A、ω的正负，角φ的范围等)，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所致)，因此这类问题多以选择题的形式出现，我们解这类题的方法往往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中．（原载2008年4月《数理天地》）     ‎