2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5

2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5

‎5.3.5　随机事件的独立性 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.理解两个随机事件相互独立的含义．‎ ‎2．掌握独立事件的概率计算．‎ 通过对独立事件的含义、概率计算的学习，培养学生的数学抽象、数学运算素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 事件的相互独立性定义 设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．‎ 思考1：互斥事件与相互独立事件的区别是什么？‎ 提示：‎ 相互独立事件 互斥事件 条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 符号 相互独立事件A，B同时发生，记作：AB 互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)‎ 计算公式 P(AB)＝P(A)P(B)‎ P(A∪B)＝P(A)＋P(B)‎ 知识点 相互独立事件性质及计算公式 当事件A，B相互独立时，A与，与B，与也相互独立．‎ 若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)×P(B)；‎ 若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．‎ 思考2：怎样用语言描述相互独立事件同时发生的概率？‎ 提示：相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．‎ 关键能力·攻重难 - 6 -‎ 题型探究 题型 相互独立事件的判断 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　从一副扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，记事件C为“抽到J”．判断下列每对事件是否相互独立？为什么？‎ ‎(1)A与B；‎ ‎(2)C与A．‎ ‎[解析]　(1)P(A)＝＝，P(B)＝＝.事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃K或方块K”，故P(AB)＝＝，因此事件P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B相互独立．‎ ‎(2)事件A与事件C是互斥的，因此事件A与C不是相互独立事件．‎ 规律方法：两个事件是否相互独立的判断 ‎(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．‎ ‎(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．下列事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？‎ ‎(1)1 000张有奖销售的奖券中某1张奖券中一等奖与该张奖券中二等奖；‎ ‎(2)甲、乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张，甲中奖与乙中奖；‎ ‎(3)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；‎ ‎(4)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，从“8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．‎ ‎[解析]　(1)一张奖券不可能既中一等奖又中二等奖，即这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件．‎ ‎(2)由双色球的中奖规则可知，甲是否中奖对乙没有影响，反之亦然，故它们是相互独立事件．‎ ‎(3)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，反之亦然，所以它们是相互独立事件．‎ ‎(4)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为 - 6 -‎ ‎；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件，也不是互斥事件．‎ 题型 相互独立事件同时发生的概率 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．‎ ‎(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；‎ ‎(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．‎ ‎[分析]　根据相互独立事件的概率公式求解．‎ ‎[解析]　记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6．‎ ‎(1)记C表示事件“一位车主同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3．‎ ‎(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝B，所以P(D)＝P(B)＝P()P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3．‎ 规律方法：1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤：‎ ‎(1)首先确定各事件是相互独立的；‎ ‎(2)其次确定各事件会同时发生；‎ ‎(3)最后求每个事件发生的概率后再求其积．‎ ‎2．要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A，B相互独立，则与B，A与，与也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．(1)甲、乙两人各用篮球投篮一次，若两人投中的概率都是0.7，则恰有一人投中的概率是(　A　)‎ A．0.42　　　 B．0.49‎ C．0.7　　 　 D．0.91‎ ‎(2)已知A、B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝____；P( )＝____．‎ ‎[解析]　(1)设甲投篮一次投中为事件A，则P(A)＝0.7，‎ - 6 -‎ 则甲投篮一次投不中为事件，则P()＝1－0.7＝0.3，‎ 设乙投篮一次投中为事件B，则P(B)＝0.7，‎ 则乙投篮一次投不中为事件，则P()＝1－0.7＝0.3，‎ 则甲、乙两人各投篮一次恰有一人投中的概率为：‎ P＝P(A∩)＋P(∩B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.7×0.3＋0.7×0.3＝0.42.故选A．‎ ‎(2)∵A、B是相互独立事件，‎ ‎∴A与，与也是相互独立事件．‎ 又∵P(A)＝，P(B)＝，‎ 故P()＝，P()＝1－＝，‎ ‎∴P(A)＝P(A)×P()＝×＝；‎ P( )＝P()×P()＝×＝．‎ 题型 相互独立事件的综合应用 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：‎ ‎(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；‎ ‎(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．‎ ‎[解析]　用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1．‎ ‎(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()‎ ‎＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．‎ ‎(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(　　)＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．‎ 规律方法：与相互独立事件有关的概率问题求解策略 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．‎ 一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：‎ - 6 -‎ ‎(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B；‎ ‎(2)A，B都发生为事件AB；‎ ‎(3)A，B都不发生为事件　；‎ ‎(4)A，B恰有一个发生为事件A＋B．‎ ‎(5)A，B中至多有一个发生为事件A＋B＋　．‎ 它们之间的概率关系如表所示：‎ A，B互斥 A，B相互独立 P(A＋B)‎ P(A)＋P(B)‎ ‎1－P()P()‎ P(AB)‎ ‎0‎ P(A)P(B)‎ P(　)‎ ‎1－[P(A)＋P(B)]‎ P()P()‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．‎ ‎(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；‎ ‎(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；‎ ‎(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．‎ ‎[解析]　(1)记事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”．‎ 依题意知，事件A和事件B相互独立，‎ 因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝．‎ ‎(2)记事件Ai表示“甲第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C，‎ 则C＝A1A2A34∪1A2A3A4，且A1A2A3与1A2A3A4是互斥事件．‎ 由于A1，A2，A3，A4之间相互独立，‎ 所以Ai与j(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立．‎ 由于P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，‎ 故P(C)＝P(A1A2A34∪1A2A3A4)‎ ‎＝P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＋P(1)P(A2)P(A3)P(A4)‎ ‎＝()3×＋×()3＝．‎ ‎(3)记事件Bi表示“乙第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记事件D表示“乙在第4次射击后终止射击”，‎ - 6 -‎ 则D＝B1B234∪1B234，‎ 且B1B234与1B234是互斥事件．‎ 由于B1，B2，B3，B4之间相互独立，‎ 所以Bi与j(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立．‎ 由于P(Bi)＝(i＝1,2,3,4)，‎ 故P(D)＝P(B1B234∪1B234)‎ ‎＝P(B1)P(B2)P(3)P(4)＋P(1)P(B2)P(3)P(4)‎ ‎＝()2×()2＋×()3＝．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是，求事件A和事件B同时发生的概率．‎ ‎[错解]　∵A与B相互独立，且只有A发生的概率和只有B发生的概率都是，‎ ‎∴P(A)＝P(B)＝，∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝．‎ ‎[辨析]　在A与B中只有A发生是指A发生和B不发生这两个事件同时发生，即事件A发生．‎ ‎[正解]　在相互独立事件A和B中，只有A发生即事件A发生，只有B发生即事件B发生．‎ ‎∵A和B相互独立，∴A与，和B也相互独立．‎ ‎∴P(A)＝P(A)·P()＝P(A)·[1－P(B)]＝，①‎ P(B)＝P()·P(B)＝[1－P(A)]·P(B)＝.②‎ ‎①－②得P(A)＝P(B)．③‎ 联立①③可解得P(A)＝P(B)＝．‎ ‎∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝．‎ - 6 -‎