2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5

2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5

‎5.1.3　数据的直观表示 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.能根据所给数据和需要作出统计图．能根据统计图提供的信息，解决实际问题．‎ ‎2．了解频数与频率的关系．会列频数、频率分布表，会画频数分布直方图、频率分布直方图及其折线图．‎ ‎3．能利用直方图估计数据的数字特征．‎ ‎1.通过对各种统计图的认识与应用，提升学生的数据分析素养．‎ ‎2．通过对样本的频数、频率分布直方图及其频率折线图的学习，提升学生的数据分析、逻辑推理素养．‎ 必备知识·探新知 柱形图(也称为条形图)‎ 知识点 　 ‎ 作用 形象地比较各种数据之间的数量关系 特征 ‎(1)一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例．‎ ‎(2)每一矩形都是__等宽__的 折线图 知识点 　 ‎ 作用 形象地表示数据的变化趋势 特征 一条轴上显示的通常是时间，另一条轴上是对应的__数据__‎ 扇形图(也称为饼图、饼形图)‎ 知识点 　 ‎ 作用 形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的__比例__‎ 特征 每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成__正比__‎ 茎叶图 知识点 　 ‎ - 9 -‎ 作用 ‎(1)如果每一行的数都是按从大到小(或从小到大)顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的__最值__、__中位数__等数字特征 ‎(2)可以看出一组数的分布情况，可能得到一些额外的信息 ‎(3)比较两组数据的集中或分散程度 特征 所有的茎都竖直排列，而叶沿__水平__方向排列 思考1：(1)重复的数据在茎叶图中是如何表示的？‎ ‎(2)茎叶图的优点是什么？‎ 提示：(1)应用茎叶图进行统计时，注意重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．‎ ‎(2)茎叶图能保留原始数据，并方便随时添加记录数据．‎ 知识点 画频数分布直方图与频率分布直方图的步骤 ‎ (1)找出最值，计算极差．‎ ‎(2)合理分组，确定区间．‎ ‎(3)整理数据．‎ ‎(4)作出有关图示.‎ 频数分布直方图 纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的__高度__与频数成正比 频率分布 直方图 纵坐标是____，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为1‎ 思考2：频数分布直方图与频率分布直方图有什么不同？‎ 提示：频数分布直方图能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各小组数据在所有数据中所占的比例大小的角度来表示数据分布的规律．‎ 知识点 频数分布折线图和频率分布折线图 把频数分布直方图和频率分布直方图中每个矩形上面一边的__中点__用线段连接起来，且画成与横轴相交．‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 柱形图与折线图 ‎┃┃典例剖析__■‎ - 9 -‎ ‎　典例1　2020年1月6日的《中国青年报》报道：“根据调查，有担当(76.3%)和踏实(74.5%)的年轻人最被受访者欣赏．奋进(54.7%)、坚毅(54.1%)、有梦想(50.2%)、有闯劲儿(40.1%)、沉稳(36.7%)、直率(34.6%)、幽默(33.4%)、活泼(27.2%)、庄重(20.3%)、洒脱(20%)也是受访者欣赏的品质．”为形象地表示这一调查结果．‎ ‎(1)作出柱形图；‎ ‎(2)作出折线图．‎ ‎[解析]　(1)柱形图如图①．‎ ‎(2)方法一：取图①中各小矩形上面的中点用线段连接起来(图略)，即得折线图．‎ 方法二：直接作出折线图如图②‎ 其中横轴上的1,2,3，…，12分别表示“有担当”，“踏实”，…，“洒脱”．‎ 规律方法：1.柱形图中，各小矩形宽相等．‎ ‎2．注意横、纵轴的意义．‎ ‎3．由柱形图可以作出折线图：取各小矩形上边的中点，再用线段连接，取各小矩形下边的中点并标注上数字，要说明标注数字所对应的数据类型．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．某射击运动员一次射击训练的成绩可以整理成如图所示的柱形图，试计算这次成绩的平均数与方差．‎ ‎[解析]　设运动员共射击了n次，则由图可知，射中7环与10环的次数为0.2n，射中8环与9环的次数为0.3n.因此平均数为 - 9 -‎ ‎＝0.2×7＋0.3×8＋0.3×9＋0.2×10＝8.5．‎ 类似地，可以算出方差为 ‎0.2×(7－8.5)2＋0.3×(8－8.5)2＋0.3×(9－8.5)2＋0.2×(10－8.5)2＝1.05．‎ 题型 扇形图 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为__50__；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为__1_015__小时．‎ ‎[解析]　由分层随机抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件)，该产品的平均使用寿命为 ＝1 015(小时)．‎ 规律方法：在扇形图中，部分数据在全部数据中的比例等于对应扇形的圆心角度数与360°之比，等于对应扇形的弧长与周长之比，也等于对应扇形面积与圆面积之比．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．若用分层随机抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取__20__人．‎ ‎[解析]　分层随机抽样时，由于40岁以下年龄段占总数的50%，故容量为40的样本中在40岁以下年龄段中应抽取40×50%＝20(人)．‎ 题型 茎叶图的画法及应用 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图：‎ - 9 -‎ ‎(1)甲、乙两名运动员的最高得分各是多少？‎ ‎(2)哪名运动员的成绩好一些？‎ ‎[解析]　(1)甲、乙两名运动员的最高得分分别为51分，52分．‎ ‎(2)从茎叶图可以看出，甲运动员得分大致对称，乙运动员的得分除一个52分以外，也大致对称．而甲运动员的平均得分高于乙运动员的平均得分，因此甲运动员的成绩更好．‎ 规律方法：1.利用茎叶图进行数据分析时，通常从茎叶图中各个“叶”上的数字多少来分析该组数据的分布对称性、稳定性等．‎ ‎2．如果茎叶图中的数据大致集中在某一行附近，那么说明这组数据比较稳定．‎ ‎3．茎叶图只适用于样本数据较少的情况．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子的字数如下：‎ ‎10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20，‎ ‎19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17．‎ 在某报纸的一篇文章中，每个句子的字数如下：‎ ‎27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35，‎ ‎12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22．‎ ‎(1)画出两组数据的茎叶图；‎ ‎(2)比较分析两组数据，能得出什么结论？‎ ‎[解析]　(1)依题意，画出茎叶图如下图所示：‎ ‎(2)电脑杂志文章中每个句子的字数集中在10～30之间，中位数为22.5，而报纸文章中每个句子的字数集中在20～40之间，中位数为27.5.还可以看出，电脑杂志上每个句子的平均字数比报纸上每个句子的平均字数要少．这与电脑杂志作为科普读物需要简明、通俗易懂的要求相吻合．‎ 题型 频率分布表和频率分布直方图 - 9 -‎ ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：‎ ‎[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8．‎ ‎(1)列出样本的频率分布表；‎ ‎(2)画出频率分布直方图；‎ ‎(3)估计成绩在[70,80)的学生占总体的百分比．‎ ‎[分析]　计算频率、列表与绘图．‎ ‎[解析]　(1)频率分布表如下：‎ 成绩分组 频数 频率 ‎[40,50)‎ ‎2‎ ‎0.04‎ ‎[50,60)‎ ‎3‎ ‎0.06‎ ‎[60,70)‎ ‎10‎ ‎0.2‎ ‎[70,80)‎ ‎15‎ ‎0.3‎ ‎[80,90)‎ ‎12‎ ‎0.24‎ ‎[90,100]‎ ‎8‎ ‎0.16‎ 合计 ‎50‎ ‎1.00‎ ‎(2)绘制频率分布直方图如图，由题意知组距为10，取小矩形的高为，计算得到如下的数据表：‎ 成绩分组 频率 小矩形的高 ‎[40,50)‎ ‎0.04‎ ‎0.004‎ ‎[50,60)‎ ‎0.06‎ ‎0.006‎ ‎[60,70)‎ ‎0.2‎ ‎0.02‎ ‎[70,80)‎ ‎0.3‎ ‎0.03‎ ‎[80,90)‎ ‎0.24‎ ‎0.024‎ ‎[90,100]‎ ‎0.16‎ ‎0.016‎ 合计 ‎1.00‎ 根据表格画出如下的频率分布直方图：‎ - 9 -‎ ‎(3)由频率分布直方图可知成绩在[70,80)分的学生所占总体的百分比是0.03×10＝0.3＝30%．‎ 规律方法：绘制频率分布直方图的方法：‎ ‎(1)先制作频率分布表，然后作直角坐标系．‎ ‎(2)把横轴分成若干段，每一段对应一个组．‎ ‎(3)在上面标出的各点中，分别以相邻两点为端点的线段为底作长方形，它的高等于该组的.每个长方形的面积恰好是该组的频率，这些长方形构成了频率分布直方图．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎4．有一个容量为100的某校毕业生起始月薪的样本，数据的分组及各组的频数如下：‎ 起始月薪(百元)‎ ‎[13,14)‎ ‎[14,15)‎ ‎[15,16)‎ ‎[16,17)‎ 频数 ‎7‎ ‎11‎ ‎26‎ ‎23‎ 起始月薪(百元)‎ ‎[17,18)‎ ‎[18,19)‎ ‎[19,20)‎ ‎[20,21]‎ 频数 ‎15‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎(1)列出样本的频率分布表；‎ ‎(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；‎ ‎(3)根据频率分布估计该校毕业生起始月薪低于2 000元的频率．‎ ‎[解析]　(1)样本的频率分布表为 起始月薪(百元)‎ 频数 频率 ‎[13,14)‎ ‎7‎ ‎0.07‎ ‎[14,15)‎ ‎11‎ ‎0.11‎ ‎[15,16)‎ ‎26‎ ‎0.26‎ ‎[16,17)‎ ‎23‎ ‎0.23‎ ‎[17,18)‎ ‎15‎ ‎0.15‎ ‎[18,19)‎ ‎8‎ ‎0.08‎ - 9 -‎ ‎[19,20)‎ ‎4‎ ‎0.04‎ ‎[20,21]‎ ‎6‎ ‎0.06‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎(2)频率分布直方图和频率分布折线图如下图．‎ ‎(3)起始月薪低于2 000元的频率为0.07＋0.11＋…＋0.04＝0.94，故起始月薪低于2 000元的频率的估计是0.94．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例5　某中学同年级40名男生的体重数据如下(单位：kg)：‎ ‎61　60　59　59　59　58　58　57　57　57‎ ‎57　56　56　56　56　56　56　56　55　55‎ ‎55　55　54　54　54　54　53　53　53　52‎ ‎52　52　52　51　51　51　50　50　49　48‎ 列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．‎ ‎[错解]　(1)极差61－48＝13．‎ ‎(2)取组距2，分组＝6.5分7组．‎ ‎(3)分点及分组如下：48～50,50～52,52～54,54～56,56～58,58～60,60～62．‎ ‎(4)列频率分布表：‎ 分组 频数 频率 ‎48～50‎ ‎2‎ ‎0.05‎ ‎50～52‎ ‎5‎ ‎0.125‎ ‎52～54‎ ‎7‎ ‎0.175‎ ‎54～56‎ ‎8‎ ‎0.20‎ ‎56～58‎ ‎11‎ ‎0.275‎ ‎58～60‎ ‎5‎ ‎0.125‎ ‎60～62‎ ‎2‎ ‎0.05‎ - 9 -‎ 合计 ‎40‎ ‎1.00‎ ‎(5)画出频率分布直方图如图所示：‎ ‎[辨析]　据画频率分布直方图的要求，分组的分点应比实际数多一位小数，故分点及分组应为47.5开始至61.5结束．‎ ‎[正解]　(1)计算最大值与最小值的差：61－48＝13．‎ ‎(2)决定组距与组数，取组距为2．‎ ＝＝6，∴共分成7组．‎ ‎(3)决定分点，使分点比数据多一位小数，并把第1小组的分点减小0.5，即分成如下7组：‎ ‎47．5～49.5,49.5～51.5,51.5～53.5,53.5～55.5，55.5～57.5,57.5～59.5,59.5～61.5‎ ‎(4)列出频率分布表如下：‎ 分组 频数 频率 ‎47.5～49.5‎ ‎2‎ ‎0.05‎ ‎49.5～51.5‎ ‎5‎ ‎0.125‎ ‎51.5～53.5‎ ‎7‎ ‎0.175‎ ‎53.5～55.5‎ ‎8‎ ‎0.20‎ ‎55.5～57.5‎ ‎11‎ ‎0.275‎ ‎57.5～59.5‎ ‎5‎ ‎0.125‎ ‎59.5～61.5‎ ‎2‎ ‎0.05‎ 合计 ‎40‎ ‎1.00‎ ‎(5)绘出频率分布直方图．‎ - 9 -‎