数学（心得）之谈“策略教学”的优化策略

数学（心得）之谈“策略教学”的优化策略

数学论文之谈“策略教学”的优化策略 ‎ ‎ 上学期学校组织的六年级数学调研中，有这样一道题：学校图书馆买来两种图书，简装《水浒》每本33元，精装《西游记》每本52元。两种书一共用去406元，这两种书各买多少本？‎ 通过调研，我们发现学生在解答这道题时失分较多。显然学生把这道题“归属”到了“鸡兔同笼”的问题范畴，认为应当用“假设”的策略来解决。可问题是题中并没有告知两种书的总本数，学生一下子找不到现成的解题模式可以套用，失分也就在情理中了。尽管也有一部分学生找到了正确答案，即“简装《水浒》买了6本，精装《西游记》买了4本”，但从他们的解题过程中并不能看出清晰的解题思路，更看不出他们所采用的是哪种解题策略，如果不是凭借一种直觉的话，那充其量也就是凑出来的。当然从几百份试卷中，我们也发现了一些比较独特的解法：‎ ‎①　  因为52是偶数，所以《水浒》的本数也一定是偶数。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 《水浒》本数 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 4‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 6‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 是否符合题意 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 否 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 否 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（406－33×2）÷52＝6（本）……28（元）‎ ‎（406－33×4）÷52＝5（本）……14（元）‎ ‎（406－33×6）÷52＝4（本）‎ 答：简装《水浒》买了6本，精装《西游记》买了4本。‎ ‎②　  406÷（33＋52）＝4（本）……66（元）‎ ‎66÷33＋4＝6（本）‎ 答：《水浒》买了6本，《西游记》买了4本。‎ ‎③　  解：设《水浒》买了x本，《西游记》买了y本。‎ ‎33x＋52y＝406‎ 推算出 x＝6，y＝4。‎ 答：《水浒》买了6本，《西游记》买了4本。‎ ‎④　  406÷（33＋52）≈5（套）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 《水浒》‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 《西游记》‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 价钱 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 比较 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 5‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 5‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 5×33＋5×52＝425（元）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 多19元 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 6‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 4‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 6×33＋4×52＝406（元）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 正好 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答：简装《水浒》买了6本，精装《西游记》买了4本。‎ 笔者又把这道题给五年级的部分学生解答，结果绝大多数学生都能应用“一一列举”的解题策略顺利地作出解答。列表如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 《西游记》的本数 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 1‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 4‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 5‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 6‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 7‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 《水浒》的本数 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 6‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其实并不是五年级学生解决问题的策略意识比六年级学生强，而是因为上述这道题与五年级学生所学的诸如“旅游团23人到旅馆住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），有多少种不同的安排”恰好类型相同。‎ 苏教国标版自四年级上册起每册都安排了一个“解决问题的策略”教学单元，这样安排虽有利于学生对某一种解题策略的掌握和应用，但也存在一定的局限性。一旦所解决的问题与所学的不相匹配，那么大部分学生将束手无策。从以上案例中我们不难发现一些问题：其一，学生拥有的“策略性知识”越多（按理说六年级的学生所拥有的“策略性知识”‎ 要比五年级的学生多），但并不意味着他们解决问题的能力就越强。从拥有策略性知识到解决问题能力的真正提升，其间还要经历哪几个阶段？其二，尽管有部分学生已具备了一些数学思想方法（如上述第3种解法，学生应用的是代数思想），但由于缺乏一些相关的知识技能，因而也影响到学生策略水平的提高。数学思想、策略虽总领于方法，但没有方法把握与数学模型的支撑，策略的运用仍无从实施。究竟有别于方法的策略教学更多地应关注什么、追求什么？其三，同样的教学内容，由于教师的认识水平、教学策略的不同以及学生之间个性特征、思维习惯的差异，导致不同的学生在解决同样的问题时呈现出不同的思维水平。“解决问题的策略”教学应遵循哪些基本原则？如何帮助学生进一步优化解题策略？‎ 二、策略的优化 数学课程标准中明确指出“解决问题”是数学课程目标的四大领域之一，而让学生“形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神”又是这一目标的具体内容之一。学习解决问题的策略，就是要帮助学生积累一些策略性的知识，提高解决问题的效率，提升学生的思维水平和智慧，促进其元认知的发展。解决问题的策略，其学习过程一般分为三个阶段：‎ 第一个阶段是知道学习的解决问题的策略是什么、有什么功用、包含哪些具体的操作步骤。这是陈述性知识的学习阶段。以“转化策略”的教学为例，课始，通过比较不规则的两个图形面积的大小，向学生揭示出“把不规则的图形通过适当的变化，变成规则的图形，使原本比较困难的问题变成了比较容易解决的问题，这样一种解决问题的策略叫转化。”接着引导学生回忆“在哪些知识的学习中应用过转化策略”，通过回顾和梳理，帮助学生发现“我们在学习一个新的知识时，几乎都是通过转化，把未知的变成已知的，从而获得新进展、新突破的”‎ ‎，从而明确转化的方向——困难转容易，未知化已知。这是“转化策略”教学的第一个阶段。‎ 再以“学会逆向思考”的教学为例，课始通过对我国载人航天工程总设计师王永志院士应用逆向思维，成功发射第一种中近程火箭的事例介绍，向学生揭示出“在我们的数学学习中，也经常要用到逆向思维。有些数学问题，如果从正面入手按习惯思维找不到解题的突破口时，不妨变换一下思考的角度，逆向进行思考，往往就会收到意想不到的效果”。借助感性的材料说明“逆向思考”的解题策略是怎么一回事，它有着什么样的功效，基本的思考方向是怎样的，这同样属于第一个阶段的教学。‎ 第二个阶段是结合该解决问题的策略适用的情景，对如何运用这一策略进行练习，逐步达到能够熟练甚至自动地执行认知策略的操作程序。这是将陈述性知识转化为程序性知识阶段。以“转化策略”的教学为例，教师通过精心设计的两组练习：‎ ㈠　  第一组练习题：‎ ‎⑴　  36.3×4.5＋6.37×45‎ ‎⑵　  □15＋1□8＋36□=900‎ ‎⑶　  ＋ ＋ ＋‎ ㈡　  第二组练习题：‎ ‎⑴　 ‎ ‎ 用分数表示各图中的涂色部分。（见课本第74页练习十四第2题）‎ ‎⑵　　  兄弟三人合资购买一套别墅。老大出资20万元，老二出的钱数与另外两人的钱数比是1︰2，老三出的钱数与另外两人出的钱数比是1︰3。这套别墅一共多少万元？‎ 由“扶”到“放”，让学生对几种常用的转化方法如“变形法”、“数形转化”、“分割法”、“关系转化”等有了一定的了解，让学生真切地感受到了转化的价值。在这个过程中，教师让学生不断地积累使用转化策略的经验，为策略的习得奠定了基础。这一阶段的学习属于第二个阶段。‎ 在“学会逆向思考”的教学中，教师同样借助不同类型的三组题：‎ 第一组题：求出□里的数。1÷（ ×□－ ）＝‎ 第二组题：将50拆分成10个素数之和，要求其中最大的素数尽可能地大，那么这个最大的素数是多少？‎ 第三组题：小虎算加法，把一个加数个位上的2当作了7，把另一个加数十位上的9当作了4，结果加得和是128。正确的答案应该是多少？‎ 让学生了解逆向思维的三种实施途径，即“由顺而倒”、“由正及反”、 “执果析因”，并通过相关的练习加以巩固和强化，使学生的逆向思维能力逐步得到提高。这是将陈述性知识上升到程序性知识的学习阶段。‎ 第三个阶段是清晰地把握策略的适用条件，知道在什么时候、在什么地方使用这一策略，并主动运用和监控这一策略的使用。这是达到元认知阶段，只有达到这一阶段的解决问题的策略才具有广泛的可迁徙性。以“转化策略”的教学为例，教师在最后阶段让学生设计测量“土豆和三角积木（三棱柱）”体积的实验方案，并思考“哪种方案更便于操作”、“用同种方案还可以测量出哪些物体的体积”以及“哪些立体图形的体积都可以用‘底面积×高’来计算”等，意在让学生主动运用和监控“转化”策略的使用，这属于第三个阶段。当然一节课就让学生达到策略学习的第三个阶段也是不大现实，比较困难的，还需要在后续的学习中不断地激发学生使用该策略的意识，进一步提高学生使用该策略的能力以及多种策略综合运用的能力，这样才有助于学生解决问题能力的提高。‎ 解决问题的策略教学，还应遵循以下教学原则：一是渐进性原则。通常一次只能教少量的策略性知识，而且要通过一定量的练习让学生熟悉此类策略的适用情境，掌握运用此类策略的常用方法，使学生对此类策略的认识不仅仅停留在表层阶段，而要尽量向纵深发展。‎ 如五年级上册“一一列举策略”的教学，教材是凭借简单的组合问题以及租船问题，向学生介绍列举的常用方法的——先分类，再有序列举，意在让学生能初步体会到蕴含其中的分类思想。在随后学习“公因数和公倍数”、“正比例和反比例”等有关知识时，仍然会用到“列举”的解题策略，这时学生对“列举策略”的认识也就更为全面、深入了。‎ 二是系统性原则。解决问题策略的教学需要的是潜移默化，润物无声，它一般是不能立竿见影的，必须坚持长期、系统的教学训练方能取得满意的效果。在学习一类策略之前，可结合有关内容进行适当的渗透；在学习此类策略之后，更要及时地跟进，通过一些变式练习让学生从已有的策略性知识中选择合适的策略，进一步提升解决问题的能力和水平。‎ ‎“鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题之一。它出自我国古代的一部算书《孙子算经》。比如：今有鸡兔同笼，上有二十一头，下有五十八足，问鸡兔各几何？一次偶然的机会，笔者在参观中国珠算博物馆时，意外地发现了“鸡兔同笼”问题的另一类解法，即借助算盘来求解的方法。先假设21只都是兔，从算盘的最左边一档起拨上四颗下珠，表示一只兔有四只脚，这样共有21档84颗下珠。因为84比58多出了26，再从最左边一档起，每档依次拨去两颗下珠（把一只鸡看成兔就多出了4－2＝2只脚），共拨十三次。这样共有13档，每档只有两颗下珠；有8档，每档有四颗下珠。也就是说鸡有13只，兔有8只。‎ 儿子上四年级，按理说“鸡兔同笼”问题要到六年级时才正式接触。如果借助算盘这一古老的教具来阐释“鸡兔同笼”问题的算理，孩子是不是也能欣然接受呢？如果在孩子学习用“假设”这种解决问题的策略解答“鸡兔同笼”问题之前，就对此类问题有了一定的感性认识，有了一定的经验储备，那不是更有利于孩子实现从“感性”到“理性”‎ 的跨越，实现从“经验”到“能力”的提升吗？在孩子学习“解决问题的策略——假设”后，我们再通过一些变式练习，如“广场前有三轮车、摩托车共9辆，它们共有24只轮子。三轮车和摩托车各有多少辆”、“学校正在进行乒乓球单打和双打比赛，共有12张球台，40人在比赛。进行单打、双打比赛的球台各几张”等，使孩子对此类策略的学习更为扎实、有效。‎ 三是活动性原则。我们可以结合一类策略的学习，开展一些数学观察、实验等活动，以检验学生自觉运用策略的意识是否形成，实践能力和创新精神是否得到了发展。“没有了活动，就没有了载体，学生的学习就容易遇到障碍；不理解活动的本质，不理解活动背后的理论支撑，就容易失去活动的方向。”‎ 在学习了圆柱体的侧面积、表面积以及体积的计算方法后，教材与配套的练习册中均安排了比较多的变式练习，如计算蔬菜大棚需要多少塑料薄膜、大棚所占空间是多少，做一只多层蛋糕需要多少奶油等等。有些题目由于远离学生的生活实际，给学生解题带来了一定的困难。如何帮助学生搭起数学与生活的桥梁，更好地理解数学本质，提高解决实际问题的能力，这些问题萦绕在头脑中，久久挥之不去。一次上班途中，笔者蓦然发现在熟悉的校园中就有许多与圆柱体有关的实际问题——‎ 那一排郁郁葱葱的香樟树，每一棵树干下端都刷上了一层白色油漆，刷一棵大约需要多少油漆？把所有的都刷上一遍呢？葫芦池上那彩虹般的小桥，不就类似于菜农搭的蔬菜大棚吗？如果在桥的内侧抹上水泥，那么抹水泥部分的面积该怎么求呢？滑梯下面的立柱贴满了“马赛克”，近看不就像是一只超大的“奶油蛋糕”吗？求贴“马赛克”部分的面积也就相当于求大、小圆柱的哪几部分的面积呢？草坪旁那一只只路灯造型新颖，灯管下面的底座都刷上了绿色的油漆。那底座犹如一根圆柱铁管被斜着切成了两半，如果要求刷漆部分的面积，该如何应对呢？……‎ 接下来的数学课，笔者把学生领出了教室。在暖风吹拂下，我们漫步校园，边看边思考着“生活中有哪些与圆柱有关的实际问题”。活动中，学生或独立思考，或相互商讨，最终他们想到了多种不同的转化策略。同时根据学生不同的个性特点、思维方式、能力水平，教师适当地作出评价，让绝大多数学生都能在活动中获得成功的体验，产生继续应用和改进策略的学习动力。‎ 四是择优性原则。有别于方法的策略教学，不能仅满足于方法与建模，还要帮助学生学会在面对问题时，知道从何入手，怎样调整；要在学生自主尝试运用个性化的策略解决问题的基础上，通过相互交流理解不同的策略，比较不同的策略，促使学生自主优化、选择并正确运用合适的策略。没有学生个性化的尝试，就不可能促成策略的建构与优化；没有对策略的理解与比较，也不可能对策略作出适当的选择和运用。‎ 回看文前的案例，我们在让学生独立思考的基础上，可以从中择选几种不同的解题方法，然后组织学生进行比较、分析。如第一种解法，虽然同样采用的是“列举”的策略，但难能可贵的是学生敏锐地捕捉到了题中数据的特点，由于总钱数406是偶数，而精装《西游记》的单价也是偶数，因此购买简装《水浒》（单价是奇数）的本数也一定是偶数。这样有选择地列举明显要比简单地一一列举“高明”许多。再如第二种解法，显然采用的是“假设”的策略（假设成套购买，可以买4套），但学生在计算过程中发现“余下的钱数恰好是33的倍数”，因此无须过多调整，一下就可求出正确的答案。在对不同策略的解读中，学生从中领悟到：我们在解决问题时不必拘泥于某一种解题策略，有时可以综合应用多种解题策略。在此基础上再敦促学生调整、优化自己的解题策略，从而不断提升学生的解决问题的能力和水平。‎