2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

‎4.1.2　指数函数的性质与图像 NNN第1课时　指数函数的性质与图像 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念．‎ ‎2．掌握指数函数的性质与图像．‎ ‎3．初步学会运用指数函数来解决问题．‎ ‎1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养．‎ ‎2．通过利用计算机软件作指数函数的图像，发展直观想象素养．‎ ‎3．通过指数函数的实际应用，提升数学建模素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 指数函数 函数__y＝ax__称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．‎ 思考：(1)为什么指数函数的底数a＞0，且a≠1?‎ ‎(2)指数函数的解析式有什么特征？‎ 提示：(1)①如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．‎ ‎②如果a＜0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义．‎ ‎③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．‎ 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1．‎ ‎(2)①a＞0，且a≠1，②ax的系数为1；③自变量x的系数为1．‎ 指数函数的图像和性质 知识点 　 ‎ ‎0＜a＜1‎ a＞1‎ 图像 定义域 实数集R - 7 -‎ 值域 ‎__(0，＋∞)__‎ 性质 过定点__(0,1)__‎ 是__减__函数 是__增__函数 思考：(1)对于指数函数y＝2x，y＝3x，y＝x，y＝x，…，为什么一定过点(0,1)?‎ ‎(2)对于指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)，在下表中，？处y的范围是什么？‎ 底数 x的范围 y的范围 a＞1‎ x＞0‎ ‎？‎ x＜0‎ ‎？‎ ‎0＜a＜1‎ x＞0‎ ‎？‎ x＜0‎ ‎？‎ 提示：(1)当x＝0时，a0＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1)．‎ ‎(2)‎ 底数 x的范围 y的范围 a＞1‎ x＞0‎ y＞1‎ x＜0‎ ‎0＜y＜1‎ ‎0＜a＜1‎ x＞0‎ ‎0＜y＜1‎ x＜0‎ y＞1‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 指数函数的概念 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　(1)函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为__2__．‎ ‎(2)指数函数y＝f(x)的图像经过点(π，e)，则f(－π)＝____．‎ ‎[分析]　(1)根据指数函数解析式的特征列方程求解．‎ - 7 -‎ ‎(2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f(－π)．‎ ‎[解析]　(1)由题意得a2－3a＋3＝1，‎ 即(a－2)(a－1)＝0，‎ 解得a＝2或a＝1(舍)．‎ ‎(2)设指数函数为y＝ax(a＞0且a≠1)，‎ 则e＝aπ，所以f(－π)＝a－π＝(aπ)－1＝e－1＝．‎ 规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法 ‎(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a＞0，且a≠1；‎ ‎②ax的系数为1；③自变量x的系数为1．‎ ‎ (2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y＝＝x是指数函数．‎ ‎2．求指数函数解析式的步骤 ‎(1)设指数函数的解析式f(x)＝ax(a＞0且a≠1)．‎ ‎(2)利用已知条件求底数A．‎ ‎(3)写出指数函数的解析式．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．(1)函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)＝(　D　)‎ A．8 B． C．4 D．2‎ ‎(2)指数函数y＝f(x)的图像经过点，那么f(4)·f(2)＝__64__．‎ ‎[解析]　(1)因为f(x)＝(2a－3)ax为指数函数，所以2a－3＝1，解得a＝2，所以f(1)＝21＝2．‎ ‎(2)设指数函数的解析式为y＝ax(a＞0且a≠1)，‎ 因为函数的图像经过点，所以 ＝a－2，所以a＝2，‎ 所以指数函数的解析式为y＝2x，‎ 所以f(4)·f(2)＝24×22＝26＝64．‎ 题型 指数函数的图像问题 ‎┃┃典例剖析__■‎ - 7 -‎ ‎　典例2　(1)函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图像可能是(　D　)‎ ‎(2)要得到函数y＝23－x的图像，只需将函数y＝x的图像(　A　)‎ A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移8个单位 D．向左平移8个单位 ‎[分析]　(1)要注意对a进行讨论，分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论判断．‎ ‎(2)先对解析式变形，再进行判断．‎ ‎[解析]　(1)函数y＝x＋a单调递增．‎ 由题意知a＞0且a≠1．‎ 当0＜a＜1时，y＝ax单调递减，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于0且小于1；‎ 当a＞1时，y＝ax单调递增，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于1.故选D．‎ ‎(2)因为y＝23－x＝ x－3，‎ 所以y＝x的图像向右平移3个单位得到y ＝x－3 ，‎ 即y＝23－x的图像．‎ 规律方法：1.函数图像问题的处理技巧 ‎(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．‎ ‎(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．‎ ‎(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势．‎ ‎2．指数型函数图像过定点问题的处理策略 求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x与y的值，即为函数图像所过的定点．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．(1)图中曲线C1，C2，C3，C4分别是指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像，则a，b，c，d与1之间的大小关系是(　D　)‎ - 7 -‎ A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C．b＜a＜1＜c＜d D．b＜a＜1＜d＜c ‎(2)若函数y＝ax＋m－1(a＞0)的图像经过第一、三和第四象限，则(　B　)‎ A．a＞1 B．a＞1，且m＜0‎ C．0＜a＜1，且m＞0 D．0＜a＜1‎ ‎[解析]　(1)过点(1,0)作直线x＝1，在第一象限内分别与各曲线相交，可知1＜d＜c，b＜a＜1，故b＜a＜1＜d＜C．‎ ‎(2)y＝ax(a＞0)的图像在第一、二象限内，欲使y＝ax＋m－1的图像经过第一、三、四象限，必须将y＝ax向下移动．当0＜a＜1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a＞1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a＞1时，图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m－1＜－1，所以m＜0，故选B．‎ 题型 指数函数的定义域、值域问题 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　(1)当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值域为(1，＋∞)，则实数a的取值范围是(　D　)‎ A．(－，－1)∪(1，) B．(－1,1)‎ C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－)∪(，＋∞)‎ ‎(2)函数y＝5的定义域为____．‎ ‎[分析]　(1)根据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应该大于1可得．‎ ‎(2)根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．‎ ‎[解析]　(1)当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则底数a2－1＞1，a2＞2，所以|a|＞，所以实数a的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．‎ ‎(2)要使函数y＝5有意义，则2x－1≥0，所以x≥.所以函数y＝ 5的定义域为．‎ - 7 -‎ 规律方法：函数y＝af(x)定义域、值域的求法 ‎(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．‎ ‎(2)值域：①换元，令t＝f(x)；‎ ‎②求t＝f(x)的定义域x∈D；‎ ‎③求t＝f(x)的值域t∈M；‎ ‎④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．‎ 提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．‎ ‎(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．(1)已知集合A＝{x|y＝2}，B＝{0,2,4}，A∩B＝____________；‎ ‎(2)求函数y＝3的定义域和值域．‎ ‎[解析]　(1)要使y＝2有意义需x－4≠0，则x≠4，即A＝{x|x≠4，x∈R}，所以A∩B＝{0,2}．‎ ‎(2)要使函数y＝3有意义，只需2x－4＞0，解得x＞2；令t＝，则t＞0，由于函数y＝3t在t∈(0，＋∞)上是增函数，故3t＞1.故函数y＝3的定义域为{x|x＞2}，值域为{y|y＞1}．‎ 误区警示：此题易忽略2x－4≠0，而误认为2x－4≥0从而造成错误．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　若函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．‎ ‎[错解]　∵函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，∴，∴a＝．‎ 故实数a的值为．‎ ‎[辨析]　误解中没有对a进行分类讨论．‎ ‎[正解]　当a＞1时，函数f(x)＝ax－1在[0,2]上是增函数，‎ - 7 -‎ 由题意可知，，解得a＝.当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax－1在[0,2]上是减函数，‎ 由题意可知，，此时a无解．综上所述，a＝．‎ - 7 -‎