小学数学知识点总结

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解 (1)这批布总共有多少米?3.2 791=2531.2(米) (2)现在可以做多少套?2531.2 2.8=904(套) 列成综合算式3.2 791 2.8=904(套) 答：现在可以做904套。 例2 小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》? 解 (1)《红岩》这本书总共多少页?24 12=288(页) (2)小明几天可以读完《红岩》?288 36=8(天) 列成综合算式24 12 36=8(天) 答：小明8天可以读完《红岩》。 例3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天? 解 (1)这批蔬菜共有多少千克?50 30=1500(千克) (2)这批蔬菜可以吃多少天?1500 (50+10)=25(天) 列成综合算式50 30 (50+10)=1500 60=25(天) 答：这批蔬菜可以吃25天。 3 【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。 【数量关系】 大数=(和+差) 2 小数=(和-差) 2 【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。 例1 甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人? 解 甲班人数=(98+6) 2=52(人) 乙班人数=(98-6) 2=46(人) 答：甲班有52人，乙班有46人。 例2 长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。 解 长=(18+2) 2=10(厘米) 宽=(18-2) 2=8(厘米) 长方形的面积=10 8=80(平方厘米) 答：长方形的面积为80平方厘米。 例3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。 解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多(32-30)=2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知 甲袋化肥重量=(22+2) 2=12(千克) 丙袋化肥重量=(22-2) 2=10(千克) 乙袋化肥重量=32-12=20(千克) 答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。 例4 甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐? 解 从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐 ，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是(14 2+3)，甲与乙的和是97，因此甲车筐数=(97+14 2+3) 2=64(筐) 乙车筐数=97-64=33(筐) 答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。 4 【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。 【数量关系】 总和 (几倍+1)=较小的数 总和-较小的数=较大的数 较小的数 几倍=较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例1 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵? 解 (1)杏树有多少棵?248 (3+1)=62(棵) (2)桃树有多少棵?62 3=186(棵) 答：杏树有62棵，桃树有186棵。 例2 东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨? 解 (1)西库存粮数=480 (1.4+1)=200(吨) (2)东库存粮数=480-200=280(吨) 答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。 例3 甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍? 解 每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站(28-24)辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数(52+32)就相当于(2+1)倍， 那么，几天以后甲站的车辆数减少为 (52+32) (2+1)=28(辆) 所求天数为(52-28) (28-24)=6(天) 答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。 例4 甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少? 解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。 因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍; 又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍; 这时(170+4-6)就相当于(1+2+3)倍。那么， 甲数=(170+4-6) (1+2+3)=28 乙数=28 2-4=52 丙数=28 3+6=90 答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。 5 【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。 【数量关系】 两个数的差 (几倍-1)=较小的数 较小的数 几倍=较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵? 解 (1)杏树有多少棵?124 (3-1)=62(棵) (2)桃树有多少棵?62 3=186(棵) 答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。 例2 爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁? 解 (1)儿子年龄=27 (4-1)=9(岁) (2)爸爸年龄=9 4=36(岁) 答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。 例3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元? 解 如果把上月盈利作为1倍量，则(30-12)万元就相当于上月盈利的(2-1)倍，因此 上月盈利=(30-12) (2-1)=18(万元) 本月盈利=18+30=48(万元) 答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。 例4 粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍? 解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差(138-94)。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，(138-94)就相当于(3-1)倍，因此 剩下的小麦数量=(138-94) (3-1)=22(吨) 运出的小麦数量=94-22=72(吨) 运粮的天数=72 9=8(天) 答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。 6 【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。 【数量关系】 总量 一个数量=倍数 另一个数量 倍数=另一总量 【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。 例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少? 解 (1)3700千克是100千克的多少倍?3700 100=37(倍) (2)可以榨油多少千克?40 37=1480(千克) 列成综合算式40 (3700 100)=1480(千克) 答：可以榨油1480千克。 例2 今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵? 解 (1)48000名是300名的多少倍?48000 300=160(倍) (2)共植树多少棵?400 160=64000(棵) 列成综合算式400 (48000 300)=64000(棵) 答：全县48000名师生共植树64000棵。 例3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元?全县16000亩果园共收入多少元? 解 (1)800亩是4亩的几倍?800 4=200(倍) (2)800亩收入多少元?11111 200=2222200(元) (3)16000亩是800亩的几倍?16000 800=20(倍) (4)16000亩收入多少元?2222200 20=44444000(元) 答：全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。 相遇问题 【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 【数量关系】 相遇时间=总路程 (甲速+乙速) 总路程=(甲速+乙速) 相遇时间 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。 例1 南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇? 解 392 (28+21)=8(小时) 答：经过8小时两船相遇。 例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间? 解 第二次相遇 可以理解为二人跑了两圈。 因此总路程为400 2 相遇时间=(400 2) (5+3)=100(秒) 答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。 例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。 解 两人在距中点3千米处相遇 是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是(3 2)千米，因此， 相遇时间=(3 2) (15-13)=3(小时) 两地距离=(15+13) 3=84(千米) 答：两地距离是84千米。 8 【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。 【数量关系】 追及时间=追及路程 (快速-慢速) 追及路程=(快速-慢速) 追及时间 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例1 好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马? 解 (1)劣马先走12天能走多少千米?75 12=900(千米) (2)好马几天追上劣马?900 (120-75)=20(天) 列成综合算式75 12 (120-75)=900 45=20(天) 答：好马20天能追上劣马。 例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。 解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用[40 (500 200)]秒，所以小亮的速度是 (500-200) [40 (500 200)] =300 100=3(米) 答：小亮的速度是每秒3米。 例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人? 解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时，这段时间敌人逃跑的路程是[10 (22-6)]千米，甲乙两地相距60千米。由此推知 追及时间=[10 (22-6)+60] (30-10) =220 20=11(小时) 答：解放军在11小时后可以追上敌人。 例4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。 解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车(16 2)千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间， 这个时间为16 2 (48-40)=4(小时) 所以两站间的距离为(48+40) 4=352(千米) 列成综合算式(48+40) [16 2 (48-40)] =88 4 =352(千米) 答：甲乙两站的距离是352千米。 9 【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。 【数量关系】 线形植树棵数=距离 棵距+1 环形植树棵数=距离 棵距 方形植树棵数=距离 棵距-4 三角形植树棵数=距离 棵距-3 面积植树棵数=面积 (棵距 行距) 【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。 例1 一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳? 解 136 2+1=68+1=69(棵) 答：一共要栽69棵垂柳。 例2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树? 解 400 4=100(棵) 答：一共能栽100棵白杨树。 例3 一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯? 解 220 4 8-4=110-4=106(个) 答：一共可以安装106个照明灯。 例4 给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖? 解 96 (0.6 0.4)=96 0.24=400(块) 答：至少需要400块地板砖。 例5 一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯? 解 (1)桥的一边有多少个电杆?500 50+1=11(个) (2)桥的两边有多少个电杆?11 2=22(个) (3)大桥两边可安装多少盏路灯?22 2=44(盏) 答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。 10 【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。 【数量关系】 年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住 年龄差不变 这个特点。 【解题思路和方法】 可以利用 差倍问题 的解题思路和方法。 例1 爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢? 解 35 5=7(倍) (35+1) (5+1)=6(倍) 答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍， 明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。 例2 母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍? 解 (1)母亲比女儿的年龄大多少岁?37-7=30(岁) (2)几年后母亲的年龄是女儿的4倍?30 (4-1)-7=3(年) 列成综合算式(37-7) (4-1)-7=3(年) 答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。 例3 甲对乙说： 当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁 。乙对甲说： 当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁 。求甲乙现在的岁数各是多少? 解 这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析： 过去某一年 今年 将来某一年 甲 □岁 △岁 61岁 乙 4岁 □岁 △岁 表中两个 □ 表示同一个数，两个 △ 表示同一个数。 因为两个人的年龄差总相等：□-4=△-□=61-△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差， 因此二人年龄差为(61-4) 3=19(岁) 甲今年的岁数为△=61-19=42(岁) 乙今年的岁数为□=42-19=23(岁) 答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。 【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。 【数量关系】 (顺水速度+逆水速度) 2=船速 (顺水速度-逆水速度) 2=水速 顺水速=船速 2-逆水速=逆水速+水速 2 逆水速=船速 2-顺水速=顺水速-水速 2 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1 一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时? 解 由条件知，顺水速=船速+水速=320 8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时320 8-15=25(千米) 船的逆水速为25-15=10(千米) 船逆水行这段路程的时间为320 10=32(小时) 答：这只船逆水行这段路程需用32小时。 例2 甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间? 解 由题意得甲船速+水速=360 10=36 甲船速-水速=360 18=20 可见(36-20)相当于水速的2倍， 所以，水速为每小时(36-20) 2=8(千米) 又因为，乙船速-水速=360 15， 所以，乙船速为360 15+8=32(千米) 乙船顺水速为32+8=40(千米) 所以，乙船顺水航行360千米需要 360 40=9(小时) 答：乙船返回原地需要9小时。 【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。 【数量关系】 火车过桥：过桥时间=(车长+桥长) 车速 火车追及：追及时间=(甲车长+乙车长+距离) (甲车速-乙车速) 火车相遇：相遇时间=(甲车长+乙车长+距离) (甲车速+乙车速) 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1 一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米? 解 火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。 (1)火车3分钟行多少米?900 3=2700(米) (2)这列火车长多少米?2700-2400=300(米) 列成综合算式900 3-2400=300(米) 答：这列火车长300米。 例2 一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米? 解 火车过桥所用的时间是2分5秒=125秒，所走的路程是(8 125)米，这段路程就是(200米+桥长)，所以，桥长为 8 125-200=800(米) 答：大桥的长度是800米。 例3 一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间? 解 从追上到追过，快车比慢车要多行(225+140)米，而快车比慢车每秒多行(22-17)米，因此，所求的时间为 (225+140) (22-17)=73(秒) 答：需要73秒。 例4 一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间? 解 如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。 150 (22+3)=6(秒) 答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。 【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。 【数量关系】 分针的速度是时针的12倍， 二者的速度差为11/12。 通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。 【解题思路和方法】 变通为 追及问题 后可以直接利用公式。 例1 从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合? 解 钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格;时针每小时走5格，每分钟走5/60=1/12格。每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以 分针追上时针的时间为20 (1-1/12) 22(分) 答：再经过22分钟时针正好与分针重合。 例2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角? 解 钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格(包括分针在时针的前或后15格两种情况)。四点整的时候，分针在时针后(5 4)格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走(5 4-15)格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走(5 4+15)格。再根据1分钟分针比时针多走(1-1/12)格就可以求出二针成直角的时间。 (5 4-15) (1-1/12) 6(分) (5 4+15) (1-1/12) 38(分) 答：4点06分及4点38分时两针成直角。 例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合? 解 六点整的时候，分针在时针后(5 6)格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。 (5 6) (1-1/12) 33(分) 答：6点33分的时候分针与时针重合。 【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余(盈)，一次不足(亏)，或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。 【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有： 参加分配总人数=(盈+亏) 分配差 如果两次都盈或都亏，则有： 参加分配总人数=(大盈-小盈) 分配差 参加分配总人数=(大亏-小亏) 分配差 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少小朋友?有多少个苹果? 解 按照 参加分配的总人数=(盈+亏) 分配差 的数量关系： (1)有小朋友多少人?(11+1) (4-3)=12(人) (2)有多少个苹果?3 12+11=47(个) 答：有小朋友12人，有47个苹果。 例2 修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天;如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米? 解 题中原定完成任务的天数，就相当于 参加分配的总人数 ，按照 参加分配的总人数=(大亏-小亏) 分配差 的数量关系，可以得知 原定完成任务的天数为 (260 8-300 4) (300-260)=22(天) 这条路全长为300 (22+4)=7800(米) 答：这条路全长7800米。 例3 组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人;如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车?多少人? 解 本题中的车辆数就相当于 参加分配的总人数 ，于是就有 (1)有多少车?(30-0) (45-40)=6(辆) (2)有多少人?40 6+30=270(人) 答：有6辆车，有270人。 【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出 一项工程 、 一块土地 、 一条水渠 、 一件工作 等，在解题时，常常用单位 1 表示工作总量。 【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作 1 ，这样，工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几)，进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。 工作量=工作效率 工作时间 工作时间=工作量 工作效率 工作时间=总工作量 (甲工作效率+乙工作效率) 【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。 例1 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成? 解 题中的 一项工程 是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位 1 。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10;乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15;两队合做，每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。 由此可以列出算式：1 (1/10+1/15)=1 1/6=6(天) 答：两队合做需要6天完成。 例2 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个? 解一 设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成(1/6-1/8)，二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。因为二人合做需要[1 (1/6+1/8)]小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以 (1)每小时甲比乙多做多少零件? 24 [1 (1/6+1/8)]=7(个) (2)这批零件共有多少个? 7 (1/6-1/8)=168(个) 答：这批零件共有168个。 解二 上面这道题还可以用另一种方法计算： 两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8=4∶‎ ‎3 由此可知，甲比乙多完成总工作量的4-3/4+3=1/7 所以，这批零件共有24 1/7=168(个) 例3 一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成? 解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是 60 12=560 10=660 15=4 因此余下的工作量由乙丙合做还需要 (60-5 2) (6+4)=5(小时) 答：还需要5小时才能完成。 例4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管? 解： 注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。 要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。 我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为(1 4 5)，2个进水管15小时注水量为(1 2 15)，从而可知 每小时的排水量为(1 2 15-1 4 5) (15-5)=1 即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知 一池水的总工作量为1 4 5-1 5=15 又因为在2小时内，每个进水管的注水量为1 2， 所以，2小时内注满一池水 至少需要多少个进水管?(15+1 2) (1 2) =8.5 9(个) 答：至少需要9个进水管。 正反比例问题 【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定)，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。 【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。 【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率(倍数)转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。 例1 修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米? 解 由条件知，公路总长不变。 原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12 现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12 比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于(4-3)份，从而知公路总长为300 (4-3) 12=3600(米) 答：这条公路总长3600米。 例2 张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题? 解 做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系 设91分钟可以做X应用题则有28∶4=91∶X 28X=91 4X=91 4 28X=13 答：91分钟可以做13道应用题。 例3 孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完? 解 书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系 设X天可以看完，就有24∶36=X∶‎ ‎15 36X=24 15X=10 答：10天就可以看完。 按比例分配问题 【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。 【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比;从问题看，求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和 【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母，比的前后项分别作分子)，再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。 例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵? 解 总份数为47+48+45=140 一班植树560 47/140=188(棵) 二班植树560 48/140=192(棵) 三班植树560 45/140=180(棵) 答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。 例2 用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶‎ ‎5。三条边的长各是多少厘米? 解 3+4+5=1260 3/12=15(厘米) 60 4/12=20(厘米) 60 5/12=25(厘米) 答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。 例3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。 解 如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到 1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2 9+6+2=1717 9/17=9 17 6/17=617 2/17=2 答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。 例4 某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人? 解 80 (12-8) (8+12+21)=820(人) 答：三个车间一共820人。 百分数问题 【含义】 ‎ ‎ 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需;分数既可以表示 率 ，也可以表示 量 ，而百分数只能表示 率 分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号 % 。 在实际中和常用到 百分点 这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。 【数量关系】 掌握 百分数 、 标准量 比较量 三者之间的数量关系： 百分数=比较量 标准量 标准量=比较量 百分数 【解题思路和方法】 一般有三种基本类型： (1)求一个数是另一个数的百分之几; (2)已知一个数，求它的百分之几是多少; (3)已知一个数的百分之几是多少，求这个数。 例1 仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几? 解 (1)用去的占720 (720+6480)=10% (2)剩下的占6480 (720+6480)=90% 答：用去了10%，剩下90%。 例2 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几? 解 本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量所以(525-420)‎ ‎ 525=0.2=20% 或者1-420 525=0.2=20% 答：男职工人数比女职工少20%。 例3 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几? 解 本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此 (525-420) 420=0.25=25% 或者525 420-1=0.25=25% 答：女职工人数比男职工多25%。 例4 红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几? 解 (1)男职工占420 (420+525)=0.444=44.4% (2)女职工占525 (420+525)=0.556=55.6% 答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。 牛吃草 问题 【含义】 牛吃草 问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫 牛顿问题 。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。 【数量关系】 草总量=原有草量+草每天生长量 ‎ 天数 【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。 例1 一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完? 解 草是均匀生长的，所以，草总量=原有草量+草每天生长量 天数。求 多少头牛5天可以把草吃完 ，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛?设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答： (1)求草每天的生长量 因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即(1 10 20);另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以 1 10 20=原有草量+20天内生长量 同理1 15 10=原有草量+10天内生长量 由此可知(20-10)天内草的生长量为 1 10 20-1 15 10=50 因此，草每天的生长量为50 (20-10)=5 (2)求原有草量 原有草量=10天内总草量-10内生长量=1 15 10-5 10=100 (3)求5天内草总量 5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5 5=125 (4)求多少头牛5天吃完草 因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。 因此5天吃完草需要牛的头数125‎ ‎ 5=25(头) 答：需要5头牛5天可以把草吃完。 例2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完;如果只有5人淘 水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完? 解 这是一道变相的 牛吃草 问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数(相当于 牛数 )，求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算： (1)求每小时进水量 因为，3小时内的总水量=1 12 3=原有水量+3小时进水量 10小时内的总水量=1 5 10=原有水量+10小时进水量 所以，(10-3)小时内的进水量为1 5 10-1 12 3=14 因此，每小时的进水量为14 (10-3)=2 (2)求淘水前原有水量 原有水量=1 12 3-3小时进水量=36-2 3=30 (3)求17人几小时淘完 17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2)，所以17人淘完水的时间是 30 (17-2)=2(小时) 答：17人2小时可以淘完水。 鸡兔同笼问题 【含义】 ‎ ‎ 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。 【数量关系】 第一鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有 兔数=(实际脚数-2 鸡兔总数) (4-2) 假设全都是兔，则有 鸡数=(4 鸡兔总数-实际脚数) (4-2) 第二鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有 兔数=(2 鸡兔总数-鸡与兔脚之差) (4+2) 假设全都是兔，则有 鸡数=(4 鸡兔总数+鸡与兔脚之差) (4+2) 【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡;如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。 例1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡? 解 假设35只全为兔，则 鸡数=(4 35-94) (4-2)=23(只) 兔数=35-23=12(只) ‎ ‎ 也可以先假设35只全为鸡，则 兔数=(94-2 35) (4-2)=12(只) 鸡数=35-12=23(只) 答：有鸡23只，有兔12只。 例2 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩? 解 此题实际上是改头换面的 鸡兔同笼 问题。 每亩菠菜施肥(1 2)千克 与 每只鸡有两个脚 相对应， 每亩白菜施肥(3 5)千克 与 每只兔有4只脚 相对应， 16亩 与 鸡兔总数 相对应， 9千克 与 鸡兔总脚数 相对应。假设16亩全都是菠菜，则有 白菜亩数=(9-1 2 16) (3 5-1 2)=10(亩) 答：白菜地有10亩。 例3 李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本? 解 此题可以变通为 鸡兔同笼 问题。假设45本全都是日记本，则有 作业本数=(69-0.70 45) (3.20-0.70)=15(本) 日记本数=45-15=30(本) 答：作业本有15本，日记本有30本。 例4 (第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只? 解 ‎ ‎ 假设100只全都是鸡，则有 兔数=(2 100-80) (4+2)=20(只) 鸡数=100-20=80(只) 答：有鸡80只，有兔20只。 例5 有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人? 解 假设全为大和尚，则共吃馍(3 100)个，比实际多吃(3 100-100)个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以 小 换 大 ，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。因此，共有小和尚 (3 100-100) (3-1/3)=75(人) 共有大和尚100-75=25(人) 答：共有大和尚25人，有小和尚75人。 【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵)，根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。 【数量关系】 (1)方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数=(每边人数-1) 4 每边人数=四周人数 4+1 (2)方阵总人数的求法： 实心方阵：总人数=每边人数 每边人数 空心方阵：总人数=(外边人数)?-(内边人数)? 内边人数=外边人数-层数 ‎ 2 (3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则： 总人数=(每边人数-层数) 层数 4 【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。 例1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人? 解 22 22=484(人) 答：参加体操表演的同学一共有484人。 例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。 解 10-(10-3 2)? =84(人) 答：全方阵84人。 例3 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人? 解 (1)中空方阵外层每边人数=52 4+1=14(人) (2)中空方阵内层每边人数=28 4-1=6(人) (3)中空方阵的总人数=14 14-6‎ ‎ 6=160(人) 答：这队学生共160人。 例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个? 解 (1)纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13(只) (2)纵横增加一层后正方形每边棋子数=(13+1) 2=7(只) (3)原有棋子数=7 7-9=40(只) 答：棋子有40只。 例5 有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树? 解 第一种方法：1+2+3+4+5=15(棵) 第二种方法：(5+1) 5 2=15(棵) 答：这个三角形树林一共有15棵树。 《》 小学数学知识点总结