精编抽象函数模型_抽象函数模型化总结

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精编抽象函数模型_抽象函数模型化总结

抽象函数模型_抽象函数模型化总结 ‎ 高三数学总复习——抽象函数 所谓抽象函数,是指没有明确给出函数表达式,只给出它具有的某些特征或性质,并用一种符号表示的函数。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的,高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得,解题时,若能从研究抽象函数的“模型”入手,根据题设中抽象函数的性质,通过类比、猜想出它可能为某种基本函数,变抽象为具体,变陌生为熟知,常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质,并以此作为解题的突破口,必能为我们的解题提供思路和方法。 常见的抽象函数对应的初等函数模型如下: 初等函数模型 抽象函数性质 正比例函数 一次函数 幂函数 二次函数(a≠0) f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c 指数函数 对数函数或f(xm)=mf(x) 余弦函数 正切函数 ‎ 下面从这一认识出发,例谈七种类型的抽象函数及其解法。(备注:解小题可参对应的具体函数,解大题得赋值,可在草纸上借助具体函数验证赋值所得结果是否正确。另并不是所有的抽象函数都能找到中学阶段所学的初等函数,此时,只能通过赋值解决问题。) 一.以正比例函数为模型的抽象函数 正比例函数是满足函数恒等式的最常见的模型。若我们能从这个具体的模型出发,根据解 标展开联想,给解题带来了思路。 例1、已知函数对任意实数,均有,且当时,,,求在区间[-2,1]上的值域。 分析:由题设可知,函数是的抽象函数,因此求函数 的值域,关键在于研究它的单调性。 解:设,∵当,∴, ∵, ∴,即,∴f(x)为增函数。 在条件中,令y=-x,则, 再令x=y=0,则f(0)=2 f(0), ∴ f(0)=0,故f(-x)=f(x),f(x)为奇函数, ∴ f(1)=-f(-1)=2,又f(-2)=2 f(-1)=-4, ∴ f(x)的值域为[-4,2]。 二、以一次函数为模型的抽象函数 一次函数y=ax+b是满足函数恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)-b的最常见的模型。 例2、已知函数f(x)对任意,满足条件f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式的解。 分析:由题设条件可猜测:f(x)是y=x+2的抽象函数,且f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。 ‎ ‎ 解:设,∵当,∴,则, 即,∴f(x)为单调增函数。 ∵, 又∵f(3)=5,∴f(1)=3。∴,∴, 即,解得不等式的解为-1 < a < 3。 三、以幂函数为模型的抽象函数 幂函数型抽象函数,即由幂函数抽象而得到的函数。由幂函数的运算法则知是我们最熟悉的满足恒等式的函数。 例3、已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)·f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当时,。 (1)判断f(x)的奇偶性; (2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明; (3)若,求a的取值范围。 分析:由题设可知f(x)是幂函数的抽象函数,从而可猜想f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数。 解:(1)令y=-1,则f(-x)=f(x)·f(-1), ∵f(-1)=1,∴f(-x)=f(x), ∴ f(x)为偶函数。 (2)设,∴,, ∵时,,∴,∴f(x1)<f(x2), 故f(x)在0,+∞)上是增函数。 (3)∵f(27)=9,又, ∴,∴,∵,∴, ∵,∴,又,故。 ‎ 四、二次函数型的抽象函数 例4.定义在的函数满足,,则等于() A.2 B.3 C.6 D.9 解:法一;设函数为,由得到,又由,,知,; 法二:所以 法三: 5、以指数函数为模型的抽象函数 由指数函数的性质知是满足恒等式的重要函数之一。 例5、已知函数对于一切实数、满足(0)≠0,,且当<0时,>1 (1)当>0时,求的取值范围(2)判断在R上的单调性 分析:由可知f(x)是指数函数的抽象函数,从而可猜想 解:(1)对于一切、∈R,且(0)≠0 令==0,则(0)=1,现设>0,则-<0,∴f(-) >1 又(0)=(-)= =1 ∴= >1∴0<<1 (2)设<,、∈R,则-<0,(-)>1且 >1 ∴, ∴f(x)在R上为单调减函数 六、以对数函数为模型的抽象函数 ‎ ‎ 由对数函数的性质知是满足恒等式的重要函数之一。 例6、已知函数定义域为(0,+∞)且单调递增,满足(4)=1, (1)证明:(1)=0;(2)求(16);(3)若+ (-3)≤1,求的范围; (4)试证()=(n∈N) 分析:由 可知f(x)是对数函数 的抽象函数, 解:(1)令=1,=4,则(4)=(1×4)=(1)+(4)∴(1)=0 (2)(16)=(4×4)=(4)+(4)=2 (3)+(-3)=[(-3)]≤1=(4) 在(0,+∞)上单调递增 ∴ ∴ ∈(3,4] (4)∵ ∴ 例7、设f (x)是定义在R+上的增函数,且f (x)=+ f (y),若f (3)=1,,求x的取值范围。 分析:由f (x)=+ f (y) 可知f(x)是对数函数的抽象函数 解:∵f(3)=1 ∴ f (3)+ f (3)=2 ∴f ()+f (3)= f (9) =2 ∵f (x)=+ f(y) 即f (x)- f(y)= ∴ ∴f [x(x-5)]> f (9) ∵f (x)是定义在R+上的增函数 ∴ 解得: 七、以三角函数为模型的抽象函数 如满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)或f(x)+f(y)的函数便是以余弦函数为模型的抽象函数;而满足f(x+y)的抽象函数,则常以正切函数为模型进行联想。 例8、设函数满足,且()=0,、∈R;求证:为周期函数,并指出它的一个周期。 分析:由和=2coscos知,本题应是以余弦函数为模型的函数 解:令=+,= 则=0 ∴∴为周期函数且2π是它的一个周期。 ‎ 例9、已知函数满足,若,试求(2005)。 分析:由和(+)=可知,本题应是以正切函为模型的函数 解∵==- ∴(+4)= ∴是以4为周期的周期函数 又∵f(0)=2004 ∴===- ∴f(2005)=-  综上所述,由抽象函数问题的结构特征,联想已学过的具有相同或相似结构的基本函数,并由基本函数的相关结构,预测、猜想抽象函数可能具有的性质 “抽象—具体—抽象”的模型化思考方法,借此可帮助同学们捕捉到有益的解题信息,可使抽象函数问题顺利获解。 练习: 1、函数f(x)为R上的偶函数,对都有成立,若,则=( B )A . 2005 B. 2 C.1 D.0 提示:先令 2. f(x)的定义域为,对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ,则 ( ) 3. 。(2000) 4.对任意整数函数满足:,若,则(c ) A.-1 B.1 ‎ ‎ C. 19 D. 43 5.定义在的函数满足,,则() A.2 B.3 C.6 D.9 6.设函数f(x)对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x) 在[-3,3]上的最大值和最小值. 7.已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有,且当时, (1)f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)解不等式 高三数学总复习——函数的周期性与对称性 (同号看周期,异号看对称) 编号 周 期 性 对 称 性 1 →T=2 →对称轴Û是偶函数; →对称中心(a,0)Û是奇函数 2 →T= →对称轴; →对称中心; 3 f(x)= -f(x+a)→T=2 f(x)= -f(-x+a)→对称中心 4 →T=2 →对称中心 5 f(x) +f(-x+a)= b→对称中心 7 →T=6 ‎ ‎ 8 →T=2 结论(1)    函数图象关于两条直线x=a,x=b对称,则函数y=f(x)是周期函数,且T=2|a-b| (2)    函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期函数,且T=2|a-b| (3)    函数图象关于直线x=a,及点M(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期函数,且T=4|a-b| (4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与y=f(b-x)关于对称; y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点对称 练习题 一、选择题: 1、已知是上的增函数,若令,则是上的() A.减函数 B.增函数 C.先减后增的函数 D.先增后减的函数 2、已知函数是定义在上的奇函数,函数的图象与函数 的图象关于直线对称,则的值为 ( ) A.2 B.1 C.0 D.不能确定 3、定义在上的函数满足,当时,单调递增,如果,且,则的值为() A.恒大于零 B.恒小于零 C.可能为零 D.可正可负 4、已知函数对于任意,有,且,则的值为( ) A.2 ‎ ‎ B. C. D. 二、填空题: 5、若函数满足,且对任意都有 ,则 。 6、定义在上的函数的图象关于点中心对称,对任意的实数都有,且,则的值为 。 7、函数对于任意实数满足条件,若则__________。 8、若,则(1)函数的一个周期为 ;(2)函数的一个周期为 . 9、若函数则的值为 。 三、解答题: 10、已知函数对任意非零实数都有,且时,。 (‎ ‎1)试判断函数的奇偶性;(2)求函数在上的值域;(3)解不等式。 11、设函数的定义域为,且满足对任意,有,且当时,。(1)求的值;(2)判断的单调性并证明的你的结论; (3)设,若,试确定的取值范围;(4)试举出一个满足条件的函数。 12. (2)当x∈(-1,0)时,有f(x)>0. 求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数; (Ⅱ) 解:(1)易证f(x)是奇函数。 (2)易证f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数. 参考答案(仅供参考) 一、选择题: 1 解:(1)特例:满足条件的函数,如; (2),是将函数的图象关于轴对称,再右移一个单位得到,单调递减,是将函数向左移动一个单位得到,在关于轴对称,单调递减,故选。 2、解:因为函数是定义在上的奇函数, 所以, 关于点(1,0)对称. 因此,关于(0,1)对称即故 3、解:有,知中有一个小于2,一个大于2,不妨设,又由知以为对称中心,且当时,单调递增,所以,所以,故选。 4、解:,, 二、填空题: 5、解:(1)令 再令, (2)令,略。 6、解:由函数的图象关于点中心对称,得, 又由,所以, 为偶函数, 令,由,得; 令,由,得, 7、解:由,得, 8、解:,把2x-3看成函数的自变量, 则得函数的一个周期为9; 所以,函数的一个周期为. 9、解: ‎ 三、解答题: 10、解:(1)令 再令 令,得 为偶函数 (2) 又 且在上是单调递增函数 解得 故不等式的解集为 11、解:(1)令 (2)任取 令 令 (或) 函数在上单调递减。 (4)如 函 数 图 象 变 换 一 览 表 平移 横向 纵向 伸缩 横向 纵向 对 称 中心对 称 两条曲 线 即与关于点对称 一条曲 线 若,则关于点对称 轴 对 称 斜率为1 点 点 斜率为-1 点 点 一条曲线 若对满足,则关于直线对称 注:由求得 两条曲线 函数与函数关于直线对称 注:由解得 对 称 轴 对 称 两条 曲线 与关于对称 与关于轴对称 与关于轴对称 与关于对称(反函数内容酌情!) 与关于原点对称 翻 折 是保留轴上方图像,并将轴下方图像向上翻折所得;(因为y≥0) ‎ 是保留轴右方图像,并将其向左翻折所得(为偶函数) 一、填空: 1、平移() 向左平移个单位所得的函数为 ;向右平移个单位所得的函数 向上平移个单位所得的函数 ;向下平移个单位所得的函数 2、对称 (1)两个函数的对称 与关于 对称; 与关于 对称; 与关于 对称; 与关于 对称; 与关于 对称; 与关于对称。 (2)函数自身的对称 若,则关于 对称; 若,则关于 对称; 二、例题: 1. (1)为奇函数,当时,,若的图像向左平移一个单位得,求的解析式。 (2)若的图像向右平移二个单位,向下平移一个单位,得到函数,求。 2. (1)描述的图像经过怎样的变化得到和。 (2)描述的图像经过怎样的变化得到,并求出的对称中心。 (3)描述的图像经过怎样的变化得到和。 3. (1)将函数的图像按平移得到的图像,求。 (2)若函数的图像按平移得到,求。 ‎ ‎4. 图像经平移或翻转后仍不能与的图像重合的是 ( ) A. B. C. D. 5.根据,作出、、、的图像。 6.(1),求关于对称的函数。 (2)求的对称轴和对称中心。 7.若对任何实数都成立,则的图像 ( ) A.关于直线对称 B. 关于直线对称 C.关于点对称 D. 关于点对称 8 .分别求(1) (2)的单调增区间。 9.分别画出函数和的图像。 10 .把函数的反函数图像向右平移2个单位就得到曲线,函数的图像与曲线C关于直线成轴对称,求。 三、巩固练习 1、函数的图像与函数的图像关于原点对称,则的表达式为 ‎ ‎ 。 2、直线与直线关于直线对称,则_______,_______。 3、已知函数的对称中心是,则 。 4、设函数的图像关于直线对称且时,有,则当时,的解析式为 。 5、设函数的图象关于直线对称,则 。 6、定义在上的函数满足条件:不是常数函数,且与对任意成立,则对于下述命题中: (1)是周期函数;(2)的图像关于直线成轴对称; (3)的图像关于轴成轴对称;(4)的图像关于原点成中心对称。 正确命题的序号是 。 7、定义在上的函数,对任何都有,这个函数的图象的几何特征是 ‎ ‎ () 关于原点对称 关于轴对称 关于点对称 关于点对称 8、函数的图象向左平移个单位得图象,再将向上平移一个单位得图象,关于直线的对称图象是,则的解析式为() 9、已知图①中的图象对应的函数,则图②对应的函数在下列给出的四个式子中,只可能是 () 10、函数的图象大致是 () 11、设函数。(1)作出在区间上画出函数的图像; ‎ ‎ 12、设是定义在上的偶函数,它的图像关于直线对称,已知时,,求当上的解析式。 13、已知函数 (1)求的单调区间;(2)若直线与有四个交点,求的取值范围; (3)讨论关于的方程解的情况。 参考答案: 一、 略 二、 例题答案 1(1);(2)。 2(1)向左1,向下2;向右,向上;(2)向左2,向上3;(3)向左;向左。 3 (1);(2)。 4 B; 5 略; 6(1); (2),。 7 C; 8 (1) 和; (2) 和。 9 略; 10 。 三、巩固练习答案 1、;2、;3、0;4、; 5、;6(1)(2)(3); 7、D;8、B;9、C;10、A; 11、略; 12、; 13、(1)和增,和减;(2); (3)时,无解;或时,两解;,三解;,四解。 ‎
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