《完全平方数特征》知识点总结

《完全平方数特征》知识点总结

《完全平方数特征》知识点总结 　　完全平方数特征： 　　1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。 　　2.除以 3 余 0 或余 1;反之不成立。 　　3.除以 4 余 0 或余 1;反之不成立。 　　4.约数个数为奇数;反之成立。 　　5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。 　　6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。 　　7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。 　　平方差公式：X2-y2= 　　完全平方和公式：2=X2+2Xy+y2 　　完全平方差公式：2=X2-2Xy+y2 　　经典例题： 　　例 1、一个自然数减去 45 及加上 44 都仍是完全平方数， 求此数。 　　解：设此自然数为 x，依题意可得 　　x-45=m^2................ 　　x+44=n^2................ 　　-可得　n^2-m^2=89,=89 　　但 89 为质数，它的正因子只能是 1 与 89，于是。解之， 得 n=45。代入得。故所求的自然数是 1981。 　　例 2、求证：四个连续的整数的积加上 1，等于一个奇 数的平方。 　　分析：设四个连续的整数为 n,,,，其中 n 为整数。欲证 　　n+1 是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一 个奇数的平方即可。 　　证明：设这四个整数之积加上 1 为 m，则 　　m=n+1=^2=[n+]^2 　　而 n 是两个连续整数的积，所以是偶数;又因为 2n+1 是 奇数，因而 n+2n+1 是奇数。这就证明了 m 是一个奇数的平 方。