压轴题放缩法技巧全总结

压轴题放缩法技巧全总结

压轴题放缩法技巧全总结 本资料为 woRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址　　 高考数学备考之 　　放缩技巧 　　证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要 有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地 考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各 级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往 是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征， 抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 　　一、裂项放缩 　　例 1.求的值; 　　求证:. 　　解析:因为,所以 　　因为,所以 　　技巧积累: 　　 　　例 2.求证: 　　求证: 　　求证: 　　求证： 　　解析:因为,所以 　　先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可 以得到答案 　　首先,所以容易经过裂项得到 　　再证而由均值不等式知道这是显然成立的， 　　所以 　　例 3.求证: 　　解析: 　　一方面:因为,所以 　　另一方面: 　　当时,,当时,, 　　当时,, 　　所以综上有 　　例 4.设函数.数列满足.. 　　设，整数.证明:. 　　解析: 　　由数学归纳法可以证明是递增数列, 　　故 　　若存在正整数,使,则, 　　若,则由知,, 　　因为,于是 　　例 5.已知,求证: 　　. 　　解析:首先可以证明: 　　所以要证 　　只要证: 　　故只要证, 　　即等价于, 　　即等价于 　　而正是成立的,所以原命题成立. 　　例 6.已知,,求证:. 　　解析: 　　所以 　　从而 　　例 7.已知,,求证: 　　证明: 　　, 　　因为 　　,所以 　　所以 　　二、函数放缩 　　例 8.求证：. 　　解析:先构造函数有,从而 　　cause 　　所以 　　例 9.求证: 　　解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 　　函数构造形式: 　　, 　　例 10.求证: 　　解析:提示: 　　函数构造形式: 　　当然本题的证明还可以运用积分放缩 　　如图,取函数, 　　首先:,从而, 　　取有,, 　　所以有,,…,,,相加后可以得到: 　　另一方面,从而有 　　取有,, 　　所以有,所以综上有 　　例 11.求证:和.解析:构造函数后即可证明 　　例 12.求证: 　　解析:,叠加之后就可以得到答案 　　函数构造形式: 　　例 13.证明: 　　解析:构造函数,求导,可以得到: 　　,令有,令有, 　　所以,所以,令有, 　　所以,所以 　　例 14.已知证明. 　　解析: 　　, 　　然后两边取自然对数,可以得到 　　然后运用和裂项可以得到答案) 　　放缩思路： 　　。于是， 　　即 　　注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思 路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： 　　， 　　即 　　例 16.已知函数若 　　解析:设函数 　　∴函数）上单调递增，在上单调递减.∴的最小值为， 即总有 　　而 　　即 　　令则 　　例 15.已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. 　　求证：函数上是增函数； 　　当； 　　已知不等式时恒成立， 　　求证： 　　解析:,所以函数上是增函数 　　因为上是增函数,所以 　　两式相加后可以得到 　　…… 　　相加后可以得到: 　　所以 　　令,有 　　所以 　　所以 　　又,所以 　　三、分式放缩 　　姐妹不等式:和 　　记忆口诀”小者小,大者大” 　　解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之. 　　例 19.姐妹不等式:和 　　也可以表示成为 　　和 　　解析:利用假分数的一个性质可得 　　即 　　例 20.证明: 　　解析:运用两次次分式放缩: 　　 　　相乘,可以得到: 　　所以有 　　四、分类放缩 　　例 21.求证: 　　解析: 　　例 22.在平面直角坐标系中, 　　轴正半轴上的点列与曲线（≥0）上的点列满足，直线 在 x 轴上的截距为.点的横坐标为,. 　　证明>>4，;证明有，使得对都有<. 　　解析:依题设有：，由得： 　　,又直线在轴上的截距为满足 　　显然，对于，有 　　证明：设，则 　　设，则当时， 　　。 　　所以，取，对都有： 　　故有<成立。 　　例 23.已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－ 1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数 A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。 　　解析:首先求出,∵ 　　∴,∵,,… 　　,故当时,, 　　因此，对任何常数 A，设是不小于 A 的最小正整数， 　　则当时,必有. 　　故不存在常数 A 使对所有的正整数恒成立. 　　例 24.设不等式组表示的平面区域为, 　　设内整数坐标点的个数为.设, 　　当时,求证:. 　　解析:容易得到,所以,要证只要证,因为 　　,所以原命题得证 　　五、迭代放缩 　　例 25.已知,求证:当时, 　　解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论 　　例 26.设,求证:对任意的正整数 k,若 k≥n 恒有:|Sn+k－ Sn|<1n 　　解析: 　　又 　　所以 　　六、借助数列递推关系 　　例 27.求证: 　　解析:设则 　　,从而 　　,相加后就可以得到 　　所以 　　例 28.求证: 　　解析:设则 　　,从而 　　,相加后就可以得到 　　例 29.若,求证: 　　解析: 　　所以就有 　　七、分类讨论 　　例 30.已知数列的前项和满足证明：对任意的整数，有 　　解析:容易得到, 　　由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论： 　　当且为奇数时 　　（减项放缩），于是 　　①当且为偶数时 　　②当且为奇数时 　　（添项放缩）由①知由①②得证。 　　八、线性规划型放缩 　　例 31.设函数.若对一切，，求的最大值。 　　解析:由知 　　即 　　由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为 　　因此对一切，的充要条件是， 　　即，满足约束条件， 　　　由线性规划得，的最大值为 5． 　　九、均值不等式放缩 　　例 32.设求证 　　解析:此数列的通项为 　　，， 　　即 　　注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩 用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！ 　　②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不 等式，这里 　　 　　其中，等的各式及其变式公式均可供选用。 　　例 33.已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证： 　　解析: 　　例 34.已知为正数，且，试证：对每一个，. 　　解析:由得，又，故，而， 　　令，则=，因为，倒序相加得=， 　　而， 　　则= 　　，所以 　　，即对每一个，. 　　例 35.求证 　　解析:不等式左 　　=， 　　原结论成立. 　　例 36.已知,求证: 　　解析: 　　经过倒序相乘,就可以得到 　　例 37.已知,求证: 　　解析: 　　其中:,因为 　　所以 　　从而,所以. 　　例 38.若,求证:. 　　解析: 　　因为当时,,所以,所以,当且仅当时取到等号. 　　所以 　　所以所以 　　例 39.已知,求证:. 　　解析:. 　　例40.已知函数 f=x2－k•2lnx.k是奇数,n∈N*时, 　　求证:[f’]n－2n－1•f’≥2n. 　　解析:由已知得， 　　当 n=1 时，左式=右式=0.∴不等式成立. 　　,左式= 　　 　　令 　　由倒序相加法得： 　　 　　， 　　所以 　　所以综上，当 k 是奇数，时，命题成立 　　例 41.（XX 年东北三校）已知函数 　　（1）求函数的最小值，并求最小值小于 0 时的取值范 围； 　　（2）令求证： 　　★例 42.已知函数,.对任意正数,证明：． 　　解析:对任意给定的,,由, 　　若令 　　，则 　　①,而 　　② 　　（一）、先证；因为，，， 　　又由 　　，得 　　． 　　所以 　　． 　　（二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则 　　（ⅰ）、当，则，所以，因为 　　， 　　，此时． 　　（ⅱ）、当③，由①得,，， 　　因为 　　所以 　　④ 　　同理得⑤，于是 　　⑥ 　　今证明 　　⑦,因为 　　， 　　只要证 　　，即 　　，也即 　　，据③，此为显然． 　　因此⑦得证．故由⑥得 　　． 　　综上所述，对任何正数，皆有． 　　例 43.求证: 　　解析:一方面: 　　 　　另一方面: 　　十、二项放缩 　　,, 　　例 44.已知证明 　　解析: 　　， 　　即 　　45.设，求证：数列单调递增且 　　解析:引入一个结论：若则（证略） 　　整理上式得（） 　　以代入（）式得 　　即单调递增。 　　以代入（）式得 　　此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数 列单调递增，所以对一切正整数有。 　　注：①上述不等式可加强为简证如下： 　　利用二项展开式进行部分放缩： 　　只取前两项有对通项作如下放缩： 　　故有 　　②上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的 背景：已知是正整数，且（1）证明；（2）证明（01 年全国 卷理科第 20 题） 　　简析对第（2）问：用代替得数列是递减数列；借鉴此 结论可有如下简捷证法：数列递减，且故即。 　　当然，本题每小题的证明方法都有 10 多种,如使用上述 例 5 所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房 问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！ 详见文[1]。 　　例 46.已知 a+b=1,a>0,b>0,求证： 　　解析:因为 a+b=1,a>0,b>0,可认为成等差数列， 设， 　　从而 　　例 47.设，求证. 　　解析:观察的结构，注意到，展开得 　　，即，得证. 　　例 48.求证:. 　　解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!) 　　例 42.已知函数，满足： 　　①对任意，都有； 　　②对任意都有. 　　（I）试证明：为上的单调增函数； 　　（II）求； 　　（III）令，试证明：. 　　解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. 　　运用抽象函数的性质判断单调性: 　　因为,所以可以得到, 　　也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调 增函数. 　　此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 　　首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按中的不 等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了! 　　由可知,令,则可以得到 　　,又,所以由不等式可以得到,又 　　,所以可以得到 　　① 　　接下来要运用迭代的思想: 　　因为,所以,, 　　② 　　,,, 　　在此比较有技巧的方法就是: 　　,所以可以判断 　　③ 　　当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还 可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以 得到结论. 　　所以,综合①②③有= 　　在解决的通项公式时也会遇到困难. 　　,所以数列的方程为,从而, 　　一方面,另一方面 　　所以,所以,综上有 　　. 　　例 49.已知函数 fx的定义域为[0,1]， 且满足下列条件： 　　①对于任意[0,1]，总有，且；②若则有 　　（Ⅰ）求 f0的值；（Ⅱ）求证： fx≤4； 　　（Ⅲ）当时，试证明：. 　　解析:（Ⅰ）解：令，由①对于任意[0,1]，总有，∴ 　　又由②得即 　　∴ 　　（Ⅱ）解：任取且设 　　则 　　因为，所以，即 　　∴. 　　∴当[0,1]时，. 　　（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明： 　　（1） 　　当 n=1 时，，不等式成立； 　　（2） 　　假设当 n=k 时， 　　由 　　得 　　即当 n=k+1 时，不等式成立 　　由（1）、（2）可知，不等式对一切正整数都成立. 　　于是，当时，， 　　而[0,1]，单调递增 　　∴ 　　所以， 　　例 50.已知： 　　求证： 　　解析:构造对偶式：令 　　则＝ 　　又 　　（ 　　十一、积分放缩 　　利用定积分的保号性比大小 　　保号性是指，定义在上的可积函数，则. 　　例 51.求证：. 　　解析: 　　，∵ 　　， 　　时，，， 　　∴，. 　　利用定积分估计和式的上下界 　　定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的 面积，现在用它来估计小矩形的面积和. 　　例 52.求证：，. 　　解析:考虑函数在区间 　　上的定积分. 　　如图，显然-① 　　对求和， 　　. 　　例 53.已知.求证：. 　　解析:考虑函数在区间 　　上的定积分. 　　∵ 　　-② 　　∴ 　　. 　　例 54.（XX 年全国高考江苏卷）设，如图，已知直线及 曲线：，上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于轴， 交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐 标构成数列. 　　（Ⅰ）试求与的关系，并求的通项公式； 　　（Ⅱ）当时，证明； 　　（Ⅲ）当时，证明. 　　解析:（过程略）. 　　证明（II）：由知，∵，∴. 　　∵当时，， 　　∴. 　　证明（Ⅲ）：由知. 　　∴恰表示阴影部分面积， 　　显然 　　④ 　　∴ 　　. 　　奇巧积累:将定积分构建的不等式略加改造即得“初等” 证明，如： 　　① 　　； 　　② 　　； 　　③ 　　； 　　④. 　　十二、部分放缩 　　例 55.求证: 　　解析: 　　例 56.设 　　求证： 　　解析: 　　又（只将其中一个变成，进行部分放缩），， 　　于是 　　例 57.设数列满足，当时 　　证明对所有 　　有； 　　解析: 　　用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当 时 　　，成立。 　　利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 　　注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也 可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论 　　十三、三角不等式的放缩 　　例 58.求证:. 　　解析:当时, 　　当时,构造单位圆,如图所示: 　　因为三角形 AoB 的面积小于扇形 oAB 的面积 　　所以可以得到 　　当时 　　所以当时有 　　当时, 　　,由可知: 　　所以综上有 　　十四、使用加强命题法证明不等式 　　同侧加强 　　对所证不等式的同一方向进行加强.如要证明,只要证 明,其中通过寻找分析,归纳完成. 　　例 59.求证:对一切,都有. 　　解析: 　　从而 　　当然本题还可以使用其他方法,如: 　　所以. 　　异侧加强 　　双向加强 　　有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时, 不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利 解决原不等式.其基本原理为: 　　欲证明,只要证明:. 　　例 60.已知数列满足:,求证: 　　解析: 　　,从而,所以有 　　,所以 　　又,所以,所以有 　　所以 　　所以综上有 　　引申:已知数列满足:,求证: 　　. 　　解析:由上可知,又,所以 　　从而 　　又当时,,所以综上有. 　　同题引申:已知数列,,,. 　　记,.求证:当时. 　　; 　　; 　　★. 　　解析:,猜想,下面用数学归纳法证明: 　　当时,,结论成立; 　　假设当时,,则时, 　　从而,所以 　　所以综上有,故 　　因为则,,…, 　　,相加后可以得到: 　　,所以 　　,所以 　　因为,从而,有,所以有 　　,从而 　　,所以 　　,所以 　　所以综上有. 　　例 61.已知数列的首项,,． 　　证明:对任意的,,; 　　证明:. 　　解析:依题,容易得到,要证,,, 　　即证 　　即证,设所以即证明 　　从而,即,这是显然成立的. 　　所以综上有对任意的,, 　　,原不等式成立． 　　由知，对任意的，有 　　． 　　取， 　　则． 　　原不等式成立． 　　十四、经典题目方法探究 　　探究 1.已知函数.若在区间上的最小值为, 　　令.求证:. 　　证明:首先:可以得到.先证明 　　所以 　　因为,相乘得: 　　,从而. 　　设 A=,B=,因为 A<B,所以 A2<AB, 　　所以,从而. 　　下面介绍几种方法证明 　　因为,所以,所以有 　　,因为,所以 　　令,可以得到,所以有 　　设所以, 　　从而,从而 　　又,所以 　　运用数学归纳法证明: 　　当时,左边=,右边=显然不等式成立; 　　假设时,,则时, 　　, 　　所以要证明,只要证明,这是成立的. 　　这就是说当时,不等式也成立,所以,综上有 　　探究 2.设函数.如果对任何，都有，求的取值范围． 　　解析:因为,所以 　　设,则, 　　因为,所以 　　当时, 　　恒成立,即,所以当时, 　　恒成立. 　　当时,,因此当时,不符合题意. 　　当时,令，则故当时,. 　　因此在上单调增加.故当时,, 　　即.于是，当时， 　　所以综上有的取值范围是 　　变式：若,其中 　　且,,求证: 　　. 　　证明：容易得到 　　由上面那个题目知道 　　就可以知道 　　★同型衍变:已知函数 　　.若对任意 x∈恒有 f>1,求 a 的取值范围. 　　解析:函数 f 的定义域为∪,导数为. 　　当 0<a≤2 时,f 在区间为增函数,故对于任意 x∈恒 有 f>f=1,因而这时 a 满足要求. 　　当 a>2 时,f 在区间为减函数,故在区间内任取一点, 比如取 　　,就有 x0∈且 f<f=1,因而这时 a 不满足要求. 　　当 a≤0 时,对于任意 x∈恒有 　　≥,这时 a 满足要求. 　　综上可知,所求 a 的取值范围为 a≤2.