工学钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算

工学钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算

1 给水排水工程结构 Water and Waste Water Engineering Structure 2 第三章 受弯构件的正截面承载力计算 3 同时受到弯矩 M 和剪力 V 共同作用, 而 N 可以忽略的构件。 主要是指各种类型的梁与板。 p p l l l M pl V p 4 第三章 受弯构件的正截面承载力计算 1. 梁、板钢筋的作用及配筋构造要求； 2. 梁正截面受弯性能的试验研究、受弯破坏形态及特征； 3. 单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算的基本假 定、应力简图、计算方法及适用条件； 4. 双筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算的基本假 定、应力简图、计算方法及适用条件； 5 . 单筋 T 形截面受弯构件正截面承载力计算的应力简图、 计算方法及适用条件； 本章主要内容 5 受弯构件主要是指梁与板。 与构件轴线相垂直的截面称为 正截面； 与构件轴线斜交的截面称为 斜截面 。 梁、板正截面受弯承载力要求满足  0 S≤R → M 　≤ M u （ 3-1 ） 式中 M — 正截面的弯矩设计值。在承载力计算中 , M 是已知的； M u — 正截面受弯承载力的设计值，它是由正截面上材料所 产 生的抗力，这里的下角码 u 是指极限值。 弯矩引起的垂直裂缝 剪力引起的斜裂缝 6 第一节 单筋矩形梁正截面承载力计算 3.1.1 适筋梁正截面受弯性能的试验研究（三个受力阶段）   1. 适筋梁正截面受弯承载力的试验研究 (1) 试验梁 受弯构件正截面受弯破坏形态与纵向受拉钢筋配筋率有关。当受弯构件正截面内配置的纵向受拉钢筋能使其正截面受弯破坏形态属于延性破坏类型时，称为 适筋梁 。 图 3-1 为一混凝土设计强度等级为 C25 的钢筋混凝土简支梁。为 消除剪力对正截面受弯的影响 ，采用 两点对称加载 方式，使两个对称集中力之间的截面，在忽略自重的情况下，只受纯弯矩而无剪力，称为 纯弯区段 。在纯弯区段布置仪表，以观察加载后梁的受力全过程。荷载是逐级施加的，由零开始直至梁正截面受弯破坏。 7 试验梁 图 3-1 试验梁 8 试验装置 P 荷载分配梁 L 数据采集系统 外加荷载 L /3 L /3 试验梁 位移计 应变计 h A s b h 0 9 (2) 梁的挠度、纵筋拉应力、截面应变试验曲线 梁跨中挠度 实测图 纵向钢筋应力 实测图 纵向应变沿梁截面高度分布实测图 图 3-2 梁的挠度、纵筋拉应力、截面应变试验曲线 10 (3) 适筋梁正截面受力的三个阶段 弹性阶段（ Ⅰ 阶段） 图 3-3 梁的截面应变、混凝土应力、纵筋拉应力分布图 11 第 Ⅰ 阶段：混凝土开裂前的未裂阶段 刚开始加载时，由于弯矩很小，混凝土基本上处于弹性工作阶段，应力与应变成正比，受压区和受拉区混凝土应力分布图形为三角形。见图 3-3 (a) 。 在弯矩增加到 时，受压区混凝土基本上处于弹性工作阶段，受压区应力图形接近三角形；而受拉区应力图形则呈曲线分布 , 受拉区边缘纤维的应变值即将到达混凝土的极限拉应变值，截面遂处于 即将开裂 状态，称为 第 Ⅰ 阶段末， 用 表示。见图 3-3(b) 。 由于受拉区混凝土塑性的发展， 阶段时中和轴的位置比第 Ⅰ 阶段初期略有上升。第 Ⅰ 阶段的特点是 : ① 混凝土没有开裂；②受压区混凝土的应力图形是直线，受拉区混凝土的应力图形在第 Ⅰ 阶段前期是直线，后期是曲线；③弯矩与截面曲率基本上是直线关系。 阶段可作为受弯构件抗裂度的计算依据。 12 带裂缝工作阶段（ Ⅱ 阶段 ） (3) 适筋梁正截面受力的三个阶段 图 3-3 梁的截面应变、混凝土应力、纵筋拉应力分布图 13 第 Ⅱ 阶段：混凝土开裂后至钢筋屈服前的裂缝阶段 时，在纯弯段抗拉能力最薄弱的某一截面处，将首先出现第一条裂缝、梁即由第 Ⅰ 阶段转入为 第 Ⅱ 阶段 工作。 裂缝出现时梁的挠度和截面曲率都突然增大，裂缝截面处的中和轴位置也将随之上移。在中和轴以下裂缝尚未延伸到的部位，混凝土虽然仍可承受一小部分拉力，但受拉区的拉力主要由钢筋承担。见图 3-3(c) 。 弯矩再增大，主裂缝开展越来越宽，受压区应力图形呈曲线变化。当弯矩继续增大到受拉钢筋应力 即将到达屈服强度 时，称为 第 Ⅱ 阶段末， 用 Ⅱ a 表示。见图 3-3(d) 。 14 第 Ⅱ 阶段 是截面混凝土裂缝发生、开展的阶段，在此阶段中梁是 带裂缝工作 的。其受力特点是：①在裂缝截面处，受拉区大部分混凝土退出工作，拉力主要由纵向受拉钢筋承担，但钢筋没有屈服；②受压区混凝土已有塑性变形，但不充分，压应力图形为只有上升段的曲线；③弯矩与截面曲率是曲线关系，截面曲率与挠度的增长加快了。 阶段 Ⅱ 相当于梁使用时的应力状态，可作为使用阶段验算变形和裂缝开展宽度的依据。 第 Ⅱ 阶段：混凝土开裂后至钢筋屈服前的裂缝阶段 15 破坏阶段（ Ⅲ 阶段 ） (3) 适筋梁正截面受力的三个阶段 图 3-3 梁的截面应变、混凝土应力、纵筋拉应力分布图 16 第 Ⅲ 阶段：钢筋开始屈服至截面破坏的破坏阶段 纵向受拉钢筋屈服后，正截面就进入 第 Ⅲ 阶段 工作。 钢筋屈服，中和轴继续上移，受压区高度进一步减小，受压区压应力图形更趋丰满。弯矩再增大直至极限弯矩实验值 M 0 u 时，称为 第 Ⅲ 阶段末 ，用 Ⅲ a 表示。此时，边缘纤维压应变到达（或接近）混凝土的极限压应变实验值 ε 0 cu ，标志着截面已开始破坏。见图 3-3(e) 。 在第 Ⅲ 阶段整个过程中，钢筋所承受的总拉力大致保持不变，但由于中和轴逐步上移，内力臂 z 略有增加，故截面极限弯矩 M 0 u 略大于屈服弯矩 M 0 y 。可见第 Ⅲ 阶段是截面的破坏阶段，破坏始于纵向受拉钢筋屈服，终结于受压区混凝土压碎。 17 受力特点是：①纵向受拉钢筋屈服，拉力保持为常值；裂缝截面处，受拉区大部分混凝土已退出工作，受压区混凝土压应力曲线图形比较丰满，有上升段曲线，也有下降段曲线；②由于受压区混凝土合压力作用点外移使内力臂增大，故弯矩还略有增加；③受压区边缘混凝土压应变达到其极限压应变实验值 ε 0 cu 时，混凝土被压碎，截面破坏； ④ 弯矩一曲率关系为接近水平的曲线。 第 Ⅲ 阶段末 (Ⅲ a ) 可作为正截面受弯承载力计算的依据。 第 Ⅲ 阶段：钢筋开始屈服至截面破坏的破坏阶段 18 (4) 适筋梁正截面受弯三个受力阶段的主要特点 II 用于裂缝宽度和挠度验算 19 图 3-4 　梁在各受力阶段的应力、应变图 C －受压区合力； T －受拉区合力 20 应变图 应力图 对各阶段和各特征点进行详细的截面应力 — 应变分析：  y M y f y A s II a M  s A s II  s A s M I  c max M u f y A s = Z D x f III a M f y A s III  s A s  t max M cr I a f tk Z 21 进行受弯构件截面各受力工作阶段的分析 , 可以详细了解截面受力的全过程 , 而且为裂缝、变形及承载力的计算提供依据。 I a —— 抗裂计算的依据 II —— 正常工作状态, 变形和裂缝宽度计算的依据; III a —— 承载能力极限状态; 22 2 正截面受弯的三种破坏形态 1 ） 适筋破坏形态 受拉钢筋先屈服，受压区混凝土后压坏，破坏前有明显预兆 —— 由于钢筋要经历较大的塑性变形，随之引起裂缝急剧开展和梁挠度的激增，为“塑性破坏”。 2 ） 超筋破坏形态 受压区混凝土先压碎，钢筋不屈服，破坏前没有明显预兆，为“脆性破坏”。钢筋的抗拉强度没有被充分利用。 3 ）少筋破坏形态 构件一裂就坏，无征兆，为“脆性破坏”。未能充分利用混凝土的抗压强度。 23 24 25 26 ( a ) ( b ) ( c ) P P P P P P P P .. P P ... P P .. .. 图 3-7 正截面受弯的三种破坏形态 27 适筋破坏形态 最小配筋率 界限配筋率 M u 0 f 0 M 0 M y C 超筋梁 ρ>ρ max B 适筋梁 ρ min <ρ<ρ max A 少筋梁 ρ>ρ max 超筋破坏形态 少筋破坏形态 M 0 cr φ 0 图 3-8 M 0 —Φ 0 示意图 28 1 ） . 适筋破坏形态 （ ρ min ≤ρ≤ρ b ） 其特点是纵向受拉钢筋先屈服，受压区混凝土随后压碎。 这里 ρ min 、 ρ b 分别为纵向受拉钢筋的最小配筋率、界限配筋率。 破坏始自受拉区钢筋的屈服，由于钢筋要经历较大的塑性变形，随之引起裂缝急剧开展和梁挠度的激增，它将给人以明显的破坏预兆，属于 延性破坏类型 。 图 3-8 M 0 —Φ 0 示意图 29 2). 超筋破坏形态（ ρ ＞ ρ b ） 其特点是混凝土受压区先压碎，纵向受拉钢筋不屈服。 破坏始自混凝土受压区先压碎，纵向受拉钢筋应力尚小于屈服强度，但此时梁已告破坏。试验表明，钢筋在梁破坏前仍处于弹性工作阶段，裂缝开展不宽，延伸不高，梁的挠度亦不大。总之，它在没有明显预兆的情况下由于受压区混凝土被压碎而突然破坏，故属于脆性破坏类型。 超筋梁 虽配置过多的受拉钢筋，但由于梁破坏时其应力低于屈服强度，不能充分发挥作用，造成钢材的浪费。这不仅 不经济 ，且 破坏前没有预兆 ，故 设计中不允许采用超筋梁。 30 3 ） . 少筋破坏形态 (ρ ＜ ρ min ) 其特点是受拉区混混凝土一裂就环。 破坏始自受拉区混凝土拉裂，梁破坏时的极限弯矩 M 0 u 小于开裂弯矩 M 0 cr 。梁配筋率 ρ 越小， M 0 u - M 0 cr 的差值越大； ρ 越大（但仍在少筋梁范围内）， M 0 u - M 0 cr 的差值越小。 M 0 u - M 0 cr =0 时，从原则上讲，它就是少筋梁与适筋梁的界限。这时的配筋率就是适筋破最小配筋率 ρ min 的理论值。在这种特定配筋情况下，梁一旦开裂钢筋应力立即达到屈服强度。 图 3-10 为少筋梁的 M 0 — Φ 0 曲线。由图可见，梁破坏时的极限弯矩 M 0 u 小于开裂弯矩 M 0 cr 。少筋梁一旦开裂，受拉钢筋立即达到屈服强度，有时可迅速经历整个流幅而进人强化阶段，在个别情况下，钢筋甚至可能被拉断。 31 3 ） . 少筋破坏形态 (ρ ＜ ρ min ) 少筋梁破坏时，裂缝往往只有一条，不仅开展宽度很大，且沿梁高延伸较高。同时它的承载力取决于混凝土的抗拉强度，属于 脆性破坏 类型，故在 土木工程中不允许采用 。 图 3-10 少筋梁 M 0 —Φ 0 关系曲线图 32 4 ） . 适筋破坏形态特例 — “ 界限破坏” （ ρ=ρ b ） 钢筋应力到达屈服强度的同时受压区边缘纤维应变也 恰好 到达混凝土受弯时极限压应变值，这种破坏形态叫“ 界限破坏 ”。即 适筋梁与超筋梁的界限 。界限破坏也属于 延性破坏 类型，所以界限配筋的梁也属于适筋梁的范围，在国外多称之为“平衡配筋梁”。可见，梁的配筋应满足 ρ min ·h/h 0 ≤ρ≤ρ b 的要求。注意，这里用 ρ min ·h/h 0 而不用 ρ min ，是 ρ min 是按 A s / bh 来定义的，见附表 3-6 的注 3 。 “界限破坏”的梁，在 实际试验中是很难做到 的。因为尽管严格的控制施工上的质量和应用材料，但实际强度也会和设计时所预期的有所不同。 33 界限破坏形态 特征 ： 受拉钢筋屈服的同时受压区混凝土被压碎。 界限破坏的配筋率 ρ b 实质上就是 适筋梁的最大配筋率。 当 ρ < ρ b 时 ，破坏 始自钢筋的屈服 ， 当 ρ > ρ b 时，破坏 始自受压区混凝土的压碎 ， ρ = ρ b 时，受拉钢筋屈服的 同时 受压区混凝土被压碎。属于 适筋梁的范围 ， 延性破坏 。 34 3.1.2 单筋矩形梁的基本计算公式 1. 正截面受弯承载力计箅的基本假定 《 混凝土设计规范 》 规定，包括受弯构件在内的各种混凝土构件的正截面承载力应按下列四个基本假定进行计算。 35 （ 1 ）截面平均应变符合平截面假定； （ 2 ）截面受拉区的拉力全部由钢筋负担，不考虑混凝土的抗拉作用； 平截面假定 36 （ 3 ） 混凝土的受压应力－应变关系的表达式为： 当 （上升段）时 当 （水平段）时 式中 （ 3-3 ） （ 3-4 ） （ 3-5 ） （ 3-6 ） （ 3-7 ） 混凝土应力 — 应变曲线 37 （ 4 ）钢筋的应力－应变关系采用理想弹塑性应力－应变关系， 钢筋应 力的绝对值不应大于其相应的强度设计值，受拉钢筋的极限拉应 变取 0.01 . σ s = E s · ε s 　 ≤ f y (3-8)   0 f y  y 钢筋应力 — 应变曲线 0.01 38 基本假定条文说明 (1) 基本假定 1. 是指在荷载作用下，梁的变形规律符合 “ 平均应变平截面假定 ” ，简称 平截面假定 。国内外大量实验，包括矩形、 T 形、 I 字形及环形截面的钢筋混凝土构件受力以后，截面各点的混凝土和钢筋纵向应变沿截面的高度方向呈直线变化。同时平截面假定也是简化计算的一种手段。 (2) 基本假定 2 ． 忽略中和轴以下混凝土的抗拉作用，主要是因为 混凝土的抗拉强度很小 ，且其合力作用点离中和轴较近，内力矩的力臂很小的缘故。 39 (3) 基本假定 3 ． 采用抛物线上升段和水平段的混凝土受压应力一应变关系曲线，见图 3 一 11 。 曲线方程随着混凝土强度等级的不同而有所变化，峰值应变 ε o 和极限压应变 ε cu 的取值随混凝土强度等级的不同而不同。对于正截面处于非均匀受压时的混凝土，极限压应变的取值最大不超过 0.0033 。   图 3-11 混凝土应力一应变曲线 当混凝土强度等级为 C50 及以下时，截面受压区边缘达到了混凝土的极限压应变值 ε cu =0.0033 。 40 (4) 基本假定 3. 实际上是给定了钢筋混凝土构件中钢筋的破坏准则，即 ε s = 0.01 。 对于混凝土各强度等级，各参数的计算结果见表 3 － 3 。规范建议的公式仅适用于正截面计算。   表 3 一 3 41 D D D M u M u M u A s f y A s f y A s f y 实际应力图 理论应力图 计算应力图 x c x c x x c — 实际受压区高度 x — 计算受压区高度 图 3-12 受压区应力图形的简化 42 图 3-13 等效矩形应力图 2. 受压区应力图形的简化 1 ）受压区混凝土的压应力的合力及其作用点 43   图 3-13 为一单筋矩形截面适筋梁的应力图形。由于采用了 平截面假定 1 以及基本假定 3 ，其受压区混凝土的压应力图形符合图 3 一 11 所示的  - 曲线，此图形可称为理论应力图形。 受压区混凝土压应力的 合力 C （ 3-9 ） 合力 C 到中和轴的距离 y c （ 3-10 ） 中和 轴高度 ( 即受压区的理论高度 ) x c 44 2 ） 等效矩形应力图   简化为等效矩形应力图的条件 ( 等效原则 ) (1) 混凝土压应力的合力 C 大小相等； (2) 两图形中受压区合力 C 的作用点不变。     图 3-13 等效矩形应力图 等效原则：合力大小 C 相等，形心位置 y c 一致 45 3 ） 混凝土受压区等效矩形应力图系数  1 、 β 1 系数  1 和 β 1 仅与混凝土应力 -- 应变曲线有关，称为等效矩形应力图形系数。 (1) 系数  1 = 等效应力图应力值 / 轴心抗压强度设计值； (2) 系数 β 1 = 混凝土受压区高度 x / 中和轴高度 x c 。   表 3 一 4 46 图 3-8 单筋矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算简图 3 ．受弯承载力设计基本计算公式 47 适筋梁与超筋梁的界限及界限配筋率 1. 适筋梁与超筋梁的界限 — 平衡配筋梁 即在受拉纵筋屈服的同时，混凝土受压边缘纤维也达到其极限压应变值 ε cu （ ε s =ε y ， ε c ＝ ε cu ），截面破坏。设钢筋开始屈服时的应变为 ε y ，则 ε y = f y / E s 此处 E s 为钢筋的弹性模量 。     图 3-14 适筋梁、超筋梁、界限配筋 梁破坏时的正截面平均应变图 48 从截面的应变分析适筋梁与超筋梁的界限，可知 : 图 3-14 适、超、界限配筋梁破坏时正截面平均应变图  cu h 0  s >  y  n <  nb  n >  nb h 0  nb h 0  y  s <  y  — 相对受压区高度  b — 界限相对受压区高度，取值见 表 3- 2 49 —— 相对界限受压区高度 2. 相对界限受压区高度 —— 相对受压区高度 相对界限受压区高度仅与材料性能有关，与截面尺寸无关。 有屈服点的钢筋 无屈服点的钢筋 50 　 　②无明显屈服点钢筋的受弯构件 　　对于碳素钢丝、钢绞线、热处理钢筋以及冷轧带肋钢筋等无明显屈服点的钢筋，取对应于残余应变为 0.2 ％时的应力 σ 0.2 作为条件屈服点，并以此作为这类钢筋的抗拉强度设计值。对应于条件屈服点 σ 0.2 时的钢筋应变为 ( 图 3-15) 式中 f y —— 无明显屈服点钢筋的抗拉强度设计值； E s —— 无明显屈服点钢筋的弹性模量。 　　 根据截面平面变形等假设，将推导公式时的 ε y 用上面的的 ε s 代替，可以求得无明显屈服点钢筋配筋的受弯构件相对界限受压区高度 ξ b 的计算公式 51 3.3.4 适筋梁与超筋梁的界限及界限配筋率 3. 界限配筋率 — ρ b （适筋梁的最大配筋率 ρ max ） ρ = As/bh 0= α 1 f c x / h 0 f y = ξ • α 1 f c / f y ρ b = α 1 ξ b f c / f y （ 3-20 ）   4. 超筋梁判别条件 当 ρ ＞ ρ b 或 ξ ＞ ξ b 或 x ＞ x b =ξ b h o 时，为超筋梁。 表 3 一 5 52 1 ） 最小配筋率的确定原则 仅从承载力考虑： 少筋破坏的特点是一裂就坏，所以从理论上讲，纵向受拉钢筋的最小配筋率 ρ min 应是这样确定的：按 Ⅲa 阶段计算钢筋混凝土受弯构件正截面受弯承载力 Mu 与按 Ⅰa 阶段计算的素混凝土受弯构件正截面受弯承载力 Mcr 两者相等。 — 保证裂而不断 。 考虑到混凝土抗拉强度的离散性以及温度变化和混凝土收缩对钢筋混凝土结构的不利影响等，最小配筋率 的确定还需受到裂缝宽度限值等条件的控制。因此， 的确定是一个涉及因素较多的复杂问题。 5. 最小配筋率 — 适筋梁与少筋梁的界限 53 确定的理论依据为： M cr = M u 54 f tk / f yk =1.4 f t /1.1 f y =1.273 f t / f y 规范 还 作出如下规定 ： １、配筋率同时不应小 于 0.2% ２、对于现浇板和基础底板沿每个方向受拉钢筋的最小配筋率不应小于 0.15% 。 得： 又有： 故： 55 《 混凝土结构设计规范 》 规定： 对于受弯构件、偏心受拉、轴心受拉构件 , 其一侧纵向受拉钢筋的配筋百分率不应小于 对于地基上的混凝土板 ，最小配筋率可适当降低 , 但不应小于 0.15% 。 2 ） 《 混凝土设计规范 》 对 ρ min 的有关规定 56 2).《 混凝土设计规范 》 对 ρ min 的有关规定 规范规定的最小配筋率值见附表 3-6 。为了防止梁“一裂就坏”，适筋梁的配筋率 ρ≥ρ min 。   表 2 一 5 57 1 基本计算公式 图 3-14 单筋矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算简图 3.1.3 基本公式及其适用条件 58 2 适用条件 防止发生超筋破坏 防止发生少筋破坏 59 3. 单筋矩形适筋梁承受的最大弯矩 M umax M u ， max ＝ α 1 f c bh 0 2 ·ξ b ( 1-0.5ξ b ) 4. 梁、板的经济配筋率 板 ρ ＝ (0.3 ～ 0.8) ％ 矩形梁 ρ ＝ (0.6 ～ 1.5) ％ Τ 形梁 ρ ＝ (0.9 ～ 1.8) ％ 60 3.1.4 截面承载力计算的两类问题 1.  截面设计 已知 : b × h 、 f c 、 f y 、 M 求 : A s 用基本公式计算步骤： (1) 查表 1-7 得混凝土保护层最小厚度 c (2) 假定 a s 梁 a s = c + 10mm （梁内两层钢筋时 a s = 60mm ） 板 a s = c + 5mm (3) h 0 = h - a s 梁受拉钢筋为一排时 梁受拉钢筋为两排时 平板 的确定 未知数 61 (7) 当 时，用基本公式直接计算 ； 由 α 1 f c b  h 0 ＝ A s f y → 求 A s (6) 当 时，说明是超筋梁， 或提高 f c 或 改用双筋梁或增大截面尺寸重新计算； (8) 如果 ，说明是少筋梁， 取 ; (5) , (4) 基本公式 (9) 选配钢筋： A s 实 = （ 1 ± 5 ％） A s 62 截面设计用 : ( 钢筋的计算截面面积及公称质量） 63 例题 3.1 （截面设计补充） 已知矩形截面简支梁，截面尺寸 b×h=250mm×450mm ，计算跨度 l =6.20m ，承受均布线荷载， 活荷载标准值 8kN/m ， 恒荷载标准值 10kN/m （不计梁的自重），采用混凝土强度等级 C40 ， HRB335 级钢筋 ，结构安全等级为 Ⅱ 级 ，环境类别为 二 类 b ，试求所需钢筋的截面面积。 【 解 】 ： 1 、梁跨中为其弯矩最大截面，求其弯矩设计值 M 其中结构重要性系数 g 0 ＝ 1.0 ，荷载分项系数 g G =1.2 ， g Q =1.4 ，荷载效应系数 C G = C Q = l 2 /8=6.20 2 /8=4.805m 2 ，则 64 2 、环境类别为二类 b ，混凝土保护层最小厚度为 35mm ，则 a s =45mm ， h 0 = h - a s =450 － 45=405mm ；查材料强度设计值表可得 f c =19.1N/mm 2 ， f y =300N/mm 2 ， x b =0.550 。 4 、求计算系数 满足适筋破坏条件 。 5 、求 A s 3 基本公式 65 6 、验算最小配筋率要求 满足最小配筋率要求 7 选配钢筋 2 20 ＋ 1 22 20 ＋ 1 22 A s 实 =628+380.1 =1008.1 mm 2 66 2. 截面复核 已知： b×h 、 f c 、 f y 、 A s 、（ M ） 求： M u （ 比较 M ≤ M u ） 方法一： (1) 计算 ρ ： ρ= A s / bh 0 (2) 计算 ξ ： ξ= ρf y /α 1 f c (3) 验算适用条件： 1) 若 ξ≤ξ b 且 ρ≥ρ min ，则 M u ＝ α 1 f c bh 0 2 ξ(1 － 0.5ξ) 2) 若 ξ ＞ ξ b 取 ξ =ξ b ， 则 M u ＝ α 1 f c bh 0 2 ξ b (1-0.5ξ b ) 3) 若 ρ ＜ ρ min 取 ρ=ρ min ， 则 M u ＝ 0.292 bh 0 2 f t (4) 当 M u ≥M 时，满足要求；否则为不安全。 当 M u 大于 M 过多时，该截面设计不经济。 67 方法二： (1) 计算 ρ ： ρ= As / bh o (2) 计算 x ：由 α 1 f c bx ＝ f y A s → 求 x (3) 验算适用条件： 1) 若 x≤ξ b h 0 且 ρ≥ρ min ，则 M u ＝ α 1 f c bx(h 0 － x ／ 2) 2) 若 x ＞ ξ b h 0 取 ξ =ξ b ，则 M u ＝ α 1 f c bh 0 2 ξ b (1-0.5ξ b ) 3) 若 ρ ＜ ρ min 取 ρ=ρ min ，则 M u ＝ 0.292 bh 0 2 f t (4) 当 M u ≥M 时，满足要求；否则为不安全。 当 M u 大于 M 过多时，该截面设计不经济。 注意： 在混凝土结构设计中，凡是正截面承载力复核题 都必须求出混凝土受压区高度 x 值 2. 截面复核 68 已知： 、 、 、 、 、 求： 未知数： 、 基本公式： （ 1 ）当 且 时，用基本公式直接计算 ； （ 2 ）当 时，说明是超筋梁，取 ， ； （ 3 ）当 时，说明是少筋梁，分别按素混凝土构件和钢筋 混凝土构件计算 ， 取小值。取 ρ=ρ min ，则 Mu ＝ 0.292 bh 0 2 f t 2. 截面复核 69 已知：矩形截面梁 b× h ＝ 250 ×450mm ；环境类别为一级，承受的弯矩设计 M=89kNm ；混凝土强度等级为 C40 ；纵向受拉钢筋为 4 根直径为 16mm 的 HRB335 级钢筋，即 Ⅱ 级钢筋， A s =804mm 2 。 [ 例 3-2] 求：验算此梁截面是否安全。 截面复核类 70 由附表 （纵向受力钢筋的混凝土保护层最小厚度表） 知，环境类别为一级， C40 时梁的混凝土保护层最小厚度为 25mm 故设 α s =35mm ，则 h 0 =450-35=415mm 由混凝土和钢筋等级，查附表（混凝土强度设计值表、普通钢筋强度设计值表），得： f c =19.1N/mm 2 ， f y =300N/mm 2 ， f t =1.71N/mm 2 【 解 】 71 同时； ， 满足。 则； ＜ ξ b =0.55 ， 满足适用条件。 72 ∴ 安全。 73 3.1.5 计算正截面受弯承载力的系数法 1. 计算系数 (1) α s — 截面抵抗矩系数 M ＝ α 1 f c bh 0 2 ξ(1 － 0.5ξ) 令 α s ＝ ξ(1 － 0.5ξ) 则 α s ＝ M ／ α 1 f c bh 0 2 (2) ξ — 相对受压区高度 ξ= x/h 0 α s ＝ ξ(1 － 0.5ξ) 则 ξ= 1- （ 1-2α s ） 1/2 (3) γ s — 内力矩的力臂系数 γ s =Z/h 0 γ s ＝ 1 － 0.5ξ 则 γ s ＝ ［ 1+ （ 1-2α s ） 1/2 ］ /2 74 取 取 令 M ＝ M u 截面抵抗矩系数 力臂系数 75 2 ．计算方法 (1) 求 α s α s ＝ M ／ α 1 f c bh 0 2 (2) 求 ξ 、 γ s ξ= 1- （ 1-2α s ） 1/ 2 γ s ＝ ［ 1+ （ 1-2α s ） 1/2 ］ /2 (3) 验算适用条件 (1) ξ ≤ξ b 若 ξ ＞ ξ b ，则需加大截面，或提高 f c ，或改用双 筋截面。 (4) 由 M ＝ f y A s γ s h 0 → 求 A s 或由 α 1 f c bξh 0 ＝ A s f y → 求 A s (5) 选配钢筋 A s 实 = （ 1 ± 5 ％） A s (6) 验算适用条件 (2) ρ≥ρ min 若 ρ ＜ ρ min ， 则 A s 实 = A s,min ＝ ρ min bh 76 例题 3.3 活荷载标准值 29kN/m ， 恒荷载标准值 18kN/m （不计梁的自重）各种条件同 例题 3.1 【 解 】 ： 1 、梁跨中为其弯矩最大截面，求其弯矩设计值 M 其中结构重要性系数 g 0 ＝ 1.0 ，荷载分项系数 g g =1.2 ， g q =1.4 ，荷载效应系数 C G = C Q = l 2 /8=6.20 2 /8=4.805m 2 ，则 2 、保护层最小厚度为 30mm ，假定 钢筋为一排 ，则 a =40mm ， h 0 = h - a =450 － 40=410mm ；查表可得 f c =19.1N/mm 2 ， f y =360N/mm 2 ， x b =0.518 。 77 3 、求计算系数 满足适筋破坏条件 。 4 、求 A s 78 5 、验算最小配筋率要求 满足最小配筋率要求 选配 6 25 ， A s =2945mm 2 若为一排，则钢筋净距 =(250-25×6-2×30)/5=8mm ，显然低于要求的 25mm ，因此需要两排。原假定为 一排错误 ，需 重新按两排计算。 重新计算，假定钢筋为两排。从第 2 步开始。 2 、保护层最小厚度为 30mm ，假定钢筋为两排，则 a =30+20+30/2=65mm ， h 0 = h - a =450 － 65=385mm ；查表可得 f c =19.1N/mm 2 ， f y =360N/mm 2 ， x b =0.518 。 79 3 、求计算系数 为超筋破坏条件 。 说明原截面选择不合适，需扩大截面。如增加截面高度到 500mm 。则从第 2 步开始进行重新设计。 2 、保护层最小厚度为 30mm ，假定钢筋为两排，则 a =30+20+30/2=65mm ， h 0 = h - a =500 － 65=435mm ；查表可得 f c =19.1N/mm 2 ， f y =360N/mm 2 ， x b =0.518 。 3 、求计算系数 80 满足适筋破坏条件 。 4 、求 A s 选配 5 25 ， A s =2454mm 2 5 25 500 81 已知：矩形截面梁 b× h ＝ 250 ×500mm ；环境类别为一级，弯矩设计值 M=150kNm, 混凝土强度等级为 C30 ，钢筋采用 HRB335 级钢筋，即 Ⅱ 级钢筋。 [ 习 3-1 ] 求：所需的纵向受拉钢筋截面面积 截面设计类 82 由 pp29 表 1-7 （纵向受力钢筋的混凝土保护层最小厚度表） 知，环境类别为一级， C30 时梁的混凝土保护层最小厚度为 25mm, 故设 α s =35mm ，则 h 0 =500-35=465mm 由混凝土和钢筋等级，查附表（混凝土强度设计值表、普通钢筋强度设计值表），得： f c =14.3N/mm 2 ， f y =300N/mm 2 ， f t =1.43N/mm 2 ， 由 表 3-1 知： α 1 = 1.0 ， β 1 = 0.8 由 表 3-2 知 ： ξ b = 0.55 【 解 】 83 基本公式法： 1 ）求受压区高度 x ： 将已知各值代入基本式 ， 则得： 解得： （大于梁高，舍去） 84 2 ）求所需钢筋量 A s ： 将已知值及所解 代入下式 ： 解得 ： 选用 4 φ 20 ， A s =1256mm 2 （选用钢筋时应满足有关间距、直径及根数等构造要求） _ 例题 3-1 截面配筋图 465 4 20 35 500 250 _ φ 85 1 ）求计算系数 ： 表格法： 查 pp348 表 ( 附录 2-3 ，或通过计算求得系数 ξ 、 γ s 值 ： 查表，由插值法得∶ 86 或通过公式计算求得系数 ξ 、 γ s 值 ： ， 可以 ； 87 解 ： 例题 3-1 截面配筋图 选用 4 20 ， As=1256mm 2 （选用钢筋时应满足有关间距、直径及根数等构造要求） _ φ 465 4 20 35 500 250 _ φ 88 验算适用条件 ： 1 ）适用条件（ 1 ）已满足； 2 ）适用条件（ 2 ）； 同时； ， 可以 ； 89 已知：一单跨简支板，计算跨度 l =2.34m ，承受均布荷载 q k =3kN/m 2 （不包括板的自重），如例题 3-2 图（ a ）所示；混凝土等级 C30 ；钢筋等级采用 HPB235 钢筋，即 Ⅰ 级钢筋。可变荷载分项系数 γ Q =1.4 ，永久荷载分项系数 γ G =1.2 ，环境类别为一级，钢筋混凝土重度为 25kN/m 3 。 [ 习 3-2 ] 求：板厚及纵向受拉钢筋截面面积 板的截面设计 2340 2460 90 由表 （纵向受力钢筋的混凝土保护层最小厚度表） 知，环境类别为一级， C30 时，板的混凝土保护层最小厚度为 15mm 故设 α s =20mm ，板厚 h=80mm, 则 h 0 =80-20=60mm 由混凝土和钢筋等级，查附表（混凝土强度设计值表、普通钢筋强度设计值表），得： f c = 14.3 N/mm 2 ， f y = 210 N/mm 2 ， f t = 1.43 N/mm 2 ， 由 表 3 － 1 知： α 1 =1.0 β 1 = 0.8 由 表 3 － 2 知 ： ξ b =0.614 【 解 】 91 1 ）计算最大跨中弯矩设计值 ： 2340 2460 2340 表格法： 92 2 ）求计算系数 ： 查表，或通过计算求得系数 ξ 、 γ s 值 ： 查表，由插值法得∶ 表格法： 93 或通过公式计算 ： 94 解 ： 选用  8 ＠ 140 ， As=359mm 2 （实际配筋筋与计算配筋相差小于 5% ），排列见 例题 3-2 图（ b ） ，垂直与纵向受拉钢筋放置  6 ＠ 250 的分布筋。 95 例题 3-2(b) 板配筋图 80mm 受力钢筋 ф 8@140 分布钢筋 ф 6@250 96 验算适用条件 ： 1 ）适用条件（ 1 ） : 2 ）适用条件（ 2 ） : 同时； ， 满足 ； ， 满足 ； 97 已知：环境类别为一级，弯矩设计值 M=270kNm ，混凝土强度等级为 C70 ，钢筋采用 HRB400 级钢筋，即 Ⅲ 级钢筋。 [ 习 3-3 ] 求：梁截面尺寸 b× h 及所需的纵向受拉钢筋截面面积 梁截面设计 98 由附表 （纵向受力钢筋的混凝土保护层最小厚度表） 知，环境类别为一级， C70 时梁的混凝土保护层最小厚度为 25 mm ，故取 α s =35mm ; 由混凝土和钢筋等级，查附表（混凝土强度设计值表、普通钢筋强度设计值表），得： f c =31.8N/mm 2 ， f y =360N/mm 2 由 表 3-1 知： α 1 =0.96 ， β 1 =0.76 【 解 】 99 假定 ρ=0.01 及 b=250mm . 则 ： 令 M=M u ， 则由式 ： 可得： 1 ）计算截面有效高度 ： 100 由 α s =35mm ： h=h 0 +a s =564+35=699mm 实际取 : h=600mm ， h 0 =600-35=565mm 101 2 ）求计算系数 ： 通过公式计算求得系数 ξ 、 γ s 值 ： 102 由式 选用 3 25 ， A s =1473mm 2 , 见 例题 3-3 图 ‖ ○ _ 565 3 25 ‖ ○ _ 35 600 250 例题 3-3 图 截面配筋图 103 验算适用条件 ： 2 ）适用条件（ 2 ） : 同时； ， 满足 ； 1 ）适用条件（ 1 ） : ， 满足 ； 由 表 4-4 知： ξ b =0.481 ＞ ξ=0.118 104 §3.2 双筋矩形截面梁的受弯承载力计算 3.2.1 概 述 1. 双筋截面概念 单筋矩形截面梁通常是这样配筋的：在正截面的受拉区配置纵向受拉钢筋，在受压区配置纵向架立筋，再用箍筋把它们一起绑扎成钢筋骨架。其中，受压区的纵向架立钢筋虽然受压，但对正截面受弯承载力的贡献很小，所以只在构造上起架立钢筋的作用，在计算中是不考虑的。 如果在受压区配置的纵向受压钢筋数量比较多，不仅起架立钢筋的作用，而且在正截面受弯承载力的计算中必须考虑它的作用，则这样配筋的截面称为 双筋截面 。 双筋矩形梁 105 2 ．双筋截面的适用情况 在正截面受弯中，采用纵向受压钢筋协助混凝土承受压力是不经济的，因而从承载力计算角度出发，双筋截面只适用于以下情况： (1) M 很大，按单筋计算 ξ ＞ ξ b ，而 b × h 受限制， f c 又不能提高； (2) 在不同荷载组合情况下，梁截面承受 异号弯矩 ± M 。 ( (3) 当某种原因截面受压区已存在的钢筋面积较大时，宜考虑其受压作用而按双筋梁计算 。 纵向钢筋 A S ′ 对 截面延性、抗裂性、变形 等是有利的 , 兼作架立筋的作用。 106 力的平衡 力矩平衡 1. 计算公式 3.2.2 计算公式与适用条件 图 3-14 双筋梁计算简图 双筋矩形截面受弯构件正截面受弯基本假定及破坏形态与单筋相类似 , 以 III a 阶段 作为承载力计算模式 , 受压区混凝土的应力仍可按等效矩形应力图方法考虑。 107 基本公式分解 将 M u 可分解为两部分 108 第一部分 ： 单筋部分 第二部分： 纯钢筋部分 109 3.2.2 计算公式与适用条件   2 . 纵向受压钢筋的抗压强度的取值为 f y ′ (1) 取值为 f y ′ 的先决条件 ： x ≥ 2 a s ′ 或 z ≤ h 0 － a s ′ (3-42) 其含义为受压钢筋位置不低于矩形受压应力图形的重心。当不满足式 (3-42) 规定时，则表明受压钢筋的位置离中和轴太近，受压钢筋的应变 ε s ′ 太小，以致其应力达不到抗压强度设计值 f y ′ 。 （ 保证受压钢筋达到屈服） (2) 对箍筋的要求 在计算中若考虑受压钢筋作用时，箍筋应做成封闭式，其间距 s ≯15d(d 为受压钢筋最小直径 ) 或 400mm 。否则，纵向受压钢筋可能发生纵向弯曲（压屈）而向外凸出，引起保护层剥落甚至使受压混凝土过早发生脆性破坏。 110 双筋截面在满足构造要求的条件下，截面达到 M u 的标志 仍然是 受压边缘混凝土达到 e cu 。 111 钢筋的受压强度 f y ’≤ 400 MPa 。 为使受压钢筋的强度能充分发挥，其应变不应小于 0.002 。 由平截面假定可得， e cu =0.0033 112 3. 适用条件 防止发生超筋破坏 , 保证构件破坏时，受拉钢筋先达到屈服 保证受压钢筋强度充分利用 , 保证构件破坏时，受压钢筋能达到屈服 双筋截面一般不会出现少筋破坏情况，故可不必验算最小配筋率。 3.5.2 计算公式与适用条件 不满足条件时，对受压钢筋取矩 , 近似取 113 1 截面设计（ 1 ） 已知： 、 、 、 、 、 、 、 求： 、 未知数： 、 、 ，需补充一个条件。 基本方程 ： （ 2 ）否则 按双筋计算 补充方程： x = x b ，直接用基本公式计算 3.2.3 计 算 方 法 （ 1 ）若 按单筋计算 双筋用钢量较大 , 故 h 0 =h a s ( 取 50~70mm) 114 1 截面设计（ 2 ） 已知： 、 、 、 、 、 、 、 、 求： 未知数： 、 。 基本方程 ： （ 1 ） ， ， （ 2 ）若 说明给定的 太小， 可假定 未知，按第一类情况处理 （ 3 ）若 ，说明给定的 太大，偏于安全的简化计算： 3.2.3 计 算 方 法 取 x = 2a s ′ ，假设混凝土压应力合力 C 也作用在受压钢筋 合力点处，对受压钢筋和混凝土共同合力点取矩，此时内力臂为（ h 0 － as′ ），直接求解 As 。 115 116 117 2 截面复核 已知： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 求： 未知数： 、 基本方程 ： （ 1 ） 当 时 ， 直接用基本公式求 （ 2 ） 当 时，取 ， （ 3 ） 当 时，取 ， 3.2.3 计 算 方 法 118 已知：矩形截面梁 b× h ＝ 200 ×500mm ；弯矩设计值 M=330kNm ，混凝土强度等级为 C40 ，钢筋采用 HRB335 级钢筋，即 Ⅱ 级钢筋；环境类别为一级 。 [ 例 3-5 ] 求：所需受压和受拉钢筋截面面积 A s 、 A ’ s 截面设计 119 由附表 （纵向受力钢筋的混凝土保护层最小厚度表） 知，环境类别为一级，假定受拉钢筋放两排，保护层最小厚度为 c = 25mm 故设 α s =60mm ，则 h 0 =500-60=440mm 由混凝土和钢筋等级，查附表（混凝土强度设计值表、普通钢筋强度设计值表），得： f c =19.1N/mm 2 ， f y =300N/mm 2 ， f y ’ =300N/mm 2 ， 由 表 3-1 知： α 1 =1.0 ， β 1 =0.8 由 表 3-2 知 ： ξ b =0.55 【 解 】 120 1 ）求计算系数 ： ∴ 应设计成双筋矩形截面。 121 取 ξ=ξ b ， 122 由式 ： 受拉钢筋选用 7 25 ， A s =3436mm 2 。受压钢筋选用 2 14mm 的钢筋， A s ’ = 308 mm 2 _ φ _ φ 123 [ 例 3-6 ] 求：所需受拉钢筋截面面积 A s 截面设计 已知：矩形截面梁 b× h ＝ 200 ×500mm ；弯矩设计值 M=330kNm ，混凝土强度等级为 C40 ，钢筋采用 HRB335 级钢筋，即 Ⅱ 级钢筋；环境类别为一级 。 受压钢筋选用 3 20mm 钢筋， A s ’ =941mm 2 。 _ φ 124 由附表 （纵向受力钢筋的混凝土保护层最小厚度表） 知，环境类别为一级，假定受拉钢筋放两排，保护层最小厚度为 c= 25mm 故设 α s =60mm ，则 h 0 =500-60=440mm 由混凝土和钢筋等级，查附表（混凝土强度设计值表、普通钢筋强度设计值表），得： f c =19.1N/mm 2 ， f y =300N/mm 2 ， f y ’ =300N/mm 2 ， 由 表 3-1 知： α 1 =1.0 ， β 1 =0.8 由 表 3-2 知 ： ξ b =0.55 【 解 】 125 则： 已知 Mu 1 后，就按单筋矩形截面求 A s1 。设 a s =60mm 、 h 0 =500-60=440mm 。 126 127 受拉钢筋选用 6 25mm ， A s =2945.9mm 2 。 最后得： _ φ 128 [ 例 3-7 ] 截面复核 例　已知混凝土等级 C30 ；钢筋采用 HRB335 ；环境类别为二类 b ，梁截面尺寸为 b × h=200mm × 400mm ；受拉钢筋为 3Φ25 的钢筋， As=1473mm 2 ; 受压钢筋为 2Φ16 的钢筋， A’s=402mm 2 ；要求承受的弯矩设计值 M=90KN · m 。 求：验算此截面是否安全。 129 　解： 130 已知：矩形截面梁 b× h ＝ 200 ×500mm ；弯矩设计值 M=260kNm ，混凝土强度等级为 C25 ，钢筋采用 HRB335 级钢筋，即 Ⅱ 级钢筋；环境类别为一类 。 求：所需受压和受拉钢筋截面面积 A s 、 A ’ s 本节习题： 习题 1 131 习题 2 求：所需受拉钢筋截面面积 A s （设 a=65mm,a’=40m ） 已知：矩形截面梁 b× h ＝ 300 ×800mm ；弯矩设计值 M=388kNm ，混凝土强度等级为 C40 ，钢筋采用 HRB335 级钢筋，即 Ⅱ 级钢筋；环境类别为一级 。 受压钢筋选用 2 20mm 钢筋， A s ’ =402mm 2 。 _ φ 132 习题 3 求：该双筋截面所能承受的最大计算弯矩 已知：矩形截面梁 b× h ＝ 200 ×500mm ；混凝土强度等级为 C20 ，环境类别为一级 。 受拉钢筋选用 5 25mm 钢筋 ( A s =941mm 2) ，受压钢筋为 3 φ 14 ( As ’ =462mm 2 ) （ a=65mm,a’=40m ） 。 _ φ 133 已知矩形截面简支梁，截面尺寸 b×h=250mm×450mm ， M=268kN.m ，采用混凝土强度等级 C40 ， Ⅱ 级钢筋 ，结构安全等级为 Ⅱ 级 ，环境类别为 二 类， 试求所需钢筋的截面面积。 ( 双筋截面）补充例题 【 解 】 ： 1 、假定 钢筋为两排， a=70mm ， a ’ =30+10=40mm ， h 0 =h-a=450 － 70=380mm ；查表可得 f c =19.5N/mm 2 ， f y =310N/mm 2 ， x b =0.544 。 2 、求计算系数 134 为超筋破坏，在不能扩大截面的条件下，设计成双筋截面 。 3 、计算 A ’ s 取 x = x b ，则可得 M u2 4 、计算 A s 为超筋破坏条件 。 135 受拉钢筋选用选配 6 28 ， A s =3695mm 2 ，受压钢筋选用 3 14 ， A ’ s =462mm 2 。 6 28 450 3 14 136 §3.3 T 形截面正截面受弯承载力计算 3.3.1 概 述 1. T 形截面 (1) T 形截面概念 受弯构件在破坏时，大部分受拉区混凝土早已退出工作，故可将受拉区混凝土的一部分挖去，见图 3 一 20 。只要把原有的纵向受拉钢筋集中布置在梁肋中，截面的承载力计算值与原矩形截面完全相同，这样做不仅可以节约混凝土且可减轻自重。剩下的梁就成为由梁肋（ b×h ）及挑出翼缘（ b f ′- b ） ×h f ′ 两部分所组成的 T 形截面。 图 3-20 T 形截面 受拉钢筋较多，可将截面底部适当增大，形成工形截面。工形截面的受弯承载力的计算与 T 形截面相同。 137 (2) T 形截面梁在工程中应用 在现浇肋梁楼盖中，楼板与梁浇注在一起形成 T 形截面梁。在预制构件中，有时由于构造的要求，做成独立的 T 形梁，如 T 形檩条及 T 形吊车梁等。 Π 形、箱形、工形（便于布置纵向受拉钢筋）等截面，在承载力计算时均可按 T 形截面考虑。 138 2. 倒 T 形截面 若翼缘在梁的受拉区 ，如图 3 一 21 （ b ）所示的倒 T 形截面梁，当受拉区的混凝土开裂以后，翼缘对承载力就不再起作用了。对于这种梁应 按肋宽为 b 的矩形截面 计算受弯承载力。又如现浇肋梁楼盖连续梁中的支座附近的截面，见图 3-22 ，由于承受负弯矩，翼缘（板）受拉，故仍应按肋宽为 b 的矩形截面计算。 图 3-21 T 形截面与倒 T 形截面 (a) T 形截面； (b) 倒 T 形截面 图 3-22 连续梁跨中与支座截面 139 3. T 形截面梁翼缘的计算宽度 b f ′ T 形截面梁受力后，翼缘上的纵向压应力是不均匀分布的，离梁肋越远压应力越小。见图 3 一 23(a) 、 (c) 。在工程中，考虑到远离梁肋处的压应力很小，故在设计中把翼缘限制在一定范围内，称为 翼缘的计算宽度 b f ′ ，并假定在 b f ′ 范围内压应力是均匀分布的，见图 3 一 23(b) 、 (d) 。     图 3-23 T 形截面梁受压区实际应力和计算应力图 试验和理论分析均表明，整个受压翼缘混凝土的压应力增长并不是同步的。 140 T 形截面梁翼缘的计算宽度 T 形截面梁翼缘内的压应力分布不均匀，且分布宽度与多种因素有关。为简化计算，通常采用与实际分布情况等效的翼缘宽度，称为翼缘的计算宽度或有效宽度。 141 表 3-3 中列有 《 混凝土设计规范 》 规定的翼缘计算宽度 b f ′ ，计算 T 形梁翼缘宽度 b f ′ 时应取表中有关各项中的 最小值 。 3. T 形截面梁翼缘的计算宽度 b f ′ 142 143 3.5.2 计算公式及适用条件   1.T 形梁分类 ( 按中和轴位置不同 ) (1) 第一种类型 — 中和轴在翼缘内，即 x ≤ h f ′ ； (2) 第二种类型 — 中和轴在梁肋内，即 x ＞ h f ′ 。 第一类 T 形截面 第二类 T 形截面 界限情况 144 3.3.2 计算公式及适用条件   2. 两类 T 形截面的鉴别 x = h f ′ 时的界限情况 由力的平衡条件，可得 α 1 f c b f ′h f ′ ＝ f y A s （ 3-48 ） M u ＝ α 1 f c b f ′h f ′ ( h 0 － h f ′/2 ) (3-49)     图 3-24 x = h f ′ 时的特殊情况 145 2. 两类 T 形截面的鉴别 第二类 T 形截面 第一类 T 形截面 截面校核 截面设计 第二类 T 形截面 第一类 T 形截面 146 3. 第一类型的计算公式及适用条件 — 与梁宽为 b f ′ 的矩形梁完全相同 (1) 计算公式 图 3-25 第一类型 T 形截面梁承载力计算图式 147 1 ）为防止发生超筋破坏，相对受压区高度应满足 。 x ≤ ξ b h 0 对第一类 T 形截面，该适用条件一般能满足，可不验算。 2 ） 为防止发生少筋破坏，受拉钢筋面积应满足 As ≥ ρ min bh 注意 : ρ = A s / bh 0 , 应根据 梁肋宽度 b 来计算。 (2) 适用条件 148 3. 第二类型的计算公式及适用条件 — 与双筋矩形梁的计算公式有些相似 (1) 计算公式 (3-52) (3-53) (2) 适用条件 1) x ≤ ξ b h 0 2) ρ ≥ ρ min , 一般均能满足 , 不必验算。 图 3-26 第二类型 T 形截面梁承载力计算图式 149 3. 第二种类型的计算公式及适用条件 — 与双筋矩形梁的计算公式有些相似 图 3-26 第二种类型 T 形截面梁 150 4 第二类 T 形截面梁的基本公式及适用条件 为防止超筋脆性破坏，相对受压区高度应满足 。 为 防止少筋脆性破坏，截面配筋面积应满足： ρ ≥ ρ min 。 对于 第二类 T 形截面，该条件一般能满足， 可不验算 。 151 3.3.3 计 算 方 法 1. 截面设计 已知 : b×h 、 f c 、 f y 、 b f ′ 、 h f ′ 、 M 求 : A s 计算步骤： (1) 鉴别截面类型 M≤ α 1 f c b f ′h f ′(h 0 － h f ′/2 ) → 第一种类型 M ＞ α 1 f c b f ′h f ′ ( h 0 － h f ′/2 ) → 第二种类型 (2) 第一种类型 — 计算方法与 b f ′×h 的单筋矩形梁完全相同。 取 h 0 = h–60mm 。 152 (3) 第二种类型 1 ）见 图 3-27 ，取 M ＝ M 1 ＋ M 2 其中 M 1 ＝ α 1 f c (b f ′ － b)h f ′(h 0 － h f ′ ／ 2) M 2 ＝ α 1 f c bx(h 0 － x ／ 2) h 0 = h – a s =h-60 2 ）计算 A s1 A s 1 =α 1 f c (b f ′ － b) h f ′/f y 3 ）计算 A s2 及 A s M 2 ＝ M - M 1 =α 1 f c bh 0 2 ξ(1 － 0.5ξ) ，可按单筋矩形 梁的计算方法，求得 A s2 A s = A s1 + A s2 验算 ξ≤ξ b 或 x ≤ξ b h 0 由此可知，可以把第二类 T 形截面梁理解为 a s ′=h f ′/2 、 A s ′=A s1 的双筋矩形截面受弯构件。 3.3.3 计 算 方 法 153 2. 截面复核 已知 : b×h 、 f c 、 f y 、 b f ′ 、 h f ′ 、 A s 、（ M ） 求 : M u （ 比较 M ≤ M u ） 计算步骤： (1) 鉴别截面类型 f y A s ≤ α 1 f c b f ′h f ′ → 第一种类型 f y A s ＞ α 1 f c b f ′h f ′→ 第二种类型 (2) 第一种类型 — 按 b f ′×h 单筋矩形梁的计算方法求 M u 。 取 h 0 = h–60mm 。 3.3.3 计 算 方 法 154 (3) 第二种类型 1) 计算 A s1 及 M u1 A s1 = α 1 f c (b f ′ － b) h f ′/f y M u1 = f y A s1 (h 0 － h f ′ ／ 2) 2) 计算 A s2 A s2 = A s - A s1 3) 计算 ρ 2 ρ 2 = As / bh o 4) 计算 ξ ξ= ρ 2 fy / α 1 fc 5) 验算适用条件，求 M u2 若 ξ≤ξ b 且 ρ 2 ≥ρ min → 则 M u2 ＝ α 1 f c bh 0 2 ξ(1 － 0.5ξ) 若 ξ ＞ ξ b → 取 ξ =ξ b ，则 M u2 ＝ α 1 f c bh 0 2 ξ b (1-0.5ξ b 若 ρ 2 ＜ ρ min → 取 ρ 2 =ρ min ，则 M u2 ＝ 0.292 bh 0 2 f t 6) 最后可得 M u ＝ M u1 ＋ M u2 7) 当 M u ≥M 时，满足要求；否则为不安全。 当 M u 大于 M 过多 时，该截面设计不经济。 3.3.3 计 算 方 法 155 156 已知弯矩 M=650KN ·m ，混凝土等级为 C30 ，钢筋采用 HRB335 ，梁的截面尺寸为 b×h=300×700mm ， b ’ f =600mm ， h ’ f =120mm ；环境类别为一类。 求：所需的受拉钢筋截面面积 A s 解： T 形截面例题　 157 158 159 T 形截面补充例题 T 形截面梁， b ’ f =550mm ， b=250mm ， h=750mm ， h ’ f =100mm ，承受弯矩设计值 M=550kN.m ，选用混凝土强度等级分别为 C40 和 C30 ， Ⅱ 级钢筋，环境类别为二类，试分别求纵向受力钢筋截面面积 A s . 【 解 】 （一） 混凝土强度等级为 C40 时 1 、环境类别为二类，假定受拉钢筋为 两排 ， a =70mm ， h 0 = h - a =750 － 70=680mm ；查表可得 f c =19.5N/mm 2 ， f y = f ’ y =310N/mm 2 ， x b =0.544 。 2 、判断 T 形截面类型 160 属于第一类 T 形截面，按 b ’ f 的矩形截面设计： 受拉钢筋选用选配 8 22 ， A s =3041mm 2 。 （二）混凝土强度等级为 C30 时 1 、环境类别为二类，假定受拉钢筋为 两排 ， a =70mm ， h 0 = h - a =750 － 70=680mm ；查表可得 f c =15.0N/mm 2 ， f y = f ’ y =310N/mm 2 ， x b =0.544 。 161 2 、判断 T 形截面类型 属于第二类 T 形截面。 3 、计算受拉钢筋面积 162 受拉钢筋选用选配 8 22 ， A s =3041mm 2 。 163 一 梁板截面形式和尺寸 1. 截面形式 梁、板常用矩形、 T 形、 I 字形、槽形、空心板和倒 L 形梁等对称和不对称截面。     图 3-1 常用梁、板截面形状 常见受弯构件的截面形式 第四节 梁、板的一般构造 （教材第四节 PP74 ） 164 受弯构件的截面形式 单筋矩形梁 双筋矩形梁 T 形梁 T 形梁 I 形梁 环形梁 165 2. 梁、板的截面尺寸 (1) 梁的高度 h 根据高跨比 ( h/l ) 来估算梁高 h ： 简支梁可取 h =(1/8 ~ 1/16) l , 次梁 l /12 ～ l /18 ，主梁 l /14 ～ l /8 。一般取 h = 200 、 250 、 300 、 350 、 750 、 800 、 900 、 1000mm 等。 h ≤800mm 时以 50mm 为模数， h ＞ 800mm 时以 100mm 为模数； (2) 梁的宽度 b 根据高宽比 (h/b) 来估算矩形截面的宽度或 T 形截面的肋宽 : 矩形梁的高宽比 2.0 ～ 3.5 ； T 形梁的高宽比 2.5 ～ 3.0 （此处 b 为梁肋宽）。一般取 b = 120 、 150 、 180 、 200 、 220 、 250 和 300mm ，大于 250mm 时以 50mm 为模数 . (3) 现浇板的宽度 一般较大，设计时可取单位宽度 (b=1000mm) 进行计算。 梁、板的截面尺寸必须满足承载力、刚度和裂缝控制要求，同时还应满足模数，以利模板定型化。 166 （ 4 ）现浇板的厚 h 根据板的跨度 l 来估算板的厚度 h ：单跨简支板 h ≥ (1/25 ~ 1/35) l ；多跨连续板 h ≥ l ／ 40 ；悬臂板 h ≥ l ／ 12 。 现浇板的厚度一般取为 10mm 的倍数，工程中现浇板的常用厚度为 60 、 70 、 80 、 100 、 120mm 。 有覆土的水池顶盖 h ≥ l ／ 25 ；池壁及底板 ≥ 200mm 。 另外 尚应满足表 3-5 的现浇钢筋混凝土板的 最小厚度 要求。 167 二 混凝土保护层厚度 (1) 定义： 纵向受力钢筋的外表面到截面边缘的垂直距离，称为混凝土保护层厚度，用 c 表示。 (2) 混凝土保护层有三个作用： ① 保护纵向钢筋不 被锈蚀 （防锈） ； ② 在火灾等情况下， 使钢筋的温度 上升缓慢 （防火） ；③ 使纵向钢筋与混凝土有较好的粘结 （粘结力） 。 (3) 混凝土保护层最小厚度 梁、板 、柱的混凝土保护层厚度与环境类别和混凝 土强度等级有关， 此外，纵向受力钢筋的混凝土保护层最小厚度 尚不 应小于钢筋的公称直径。 见 pp29 表 1-7 、表 1-8 。对于给排水构筑物 , 梁的 最小保护层厚度 为 35mm, 板为 30mm. 168 混凝土结构的环境类别 见 pp347 附表 1-3 169 纵向受力钢筋的混凝土保护层最小厚度（ mm ） 见 pp29 表 1-7 170 见 pp29 表 1-8 板 C min =30mm 梁 C min =35mm 171 三 材料选择与一般构造   1. 混凝土强度等级 给排水构筑物的梁、板常用的混凝土强度等级不低于 C25 。提高混凝土强度等级对增大受弯构件正截面受弯承载力的作用不显著。 2. 钢筋强度等级及常用直径 (1) 梁的钢筋强度等级和常用直径 1) 纵向受力钢筋 梁中纵向受力钢筋宜采用 HRB335 级或 HRB400 级，常用直径为 12mm, 14mm, 16mm, 18mm, 20mm, 22mm 和 25mm 。根数最好不少于 3 （或 4 ）根。设计中若采用两种不同直径的钢筋，钢筋直径相差至少 2mm , 以便于在施工中能用肉眼识别。 172 为了便于浇注混凝土，以保证钢筋周围混凝土的密实性，纵筋的净间距应满足图 3-2 所示的要求。 图 3 － 2 净距、保护层及有效高度 173 2 ）架立钢筋 对于单筋矩形截面梁，当梁的跨度小于 4m 时，架立钢筋的直径不宜小于 8mm ；当梁的跨度等于 4 ～ 6m 时，不宜小于 l0mm ；当梁的跨度大于 6m 时，不宜小于 12mm 。 3 ）梁的箍筋 宜采用 HPB235 级（ Ⅰ 级）、 HRB335 （ Ⅱ 级）和 HRB400 级（ Ⅲ 级）的钢筋，常用直径是 6mm 、 8mm 和 l0mm 。 图 3-3 梁内钢筋 弯筋 箍筋 架立 174 • 梁： ► 梁中纵向受力钢筋宜采用 HRB400 或 RRB400 级（ Ⅲ 级 ）和 HRB335 级（ Ⅱ 级 ）； ► 常用直径 12 、 14 、 16 、 18 、 20 、 22 和 25 mm ; ► 根数不少于 3 （或 4 ）根； ► 架立钢筋直径 8 、 10 、 12mm ； ► 梁箍筋宜采用 HPB235 （ Ⅰ 级）、 HRB335 级（ Ⅱ 级）和 HRB400 级（ Ⅲ 级）钢筋，常用直径 6 、 8 、 10 mm 。 175 （ 2 ）板的钢筋强度等级及 常用直径 板内钢筋一般有 纵向受拉钢筋 与 分布钢筋 两种。 1) 板的受力钢筋 板的纵向受拉钢筋常用 HPB235 级（ Ⅰ 级）、 HRB335 级（ Ⅱ 级）和 HRB400 级（ Ⅲ 级）钢筋，常用直径是 6mm 、 8mm 、 l0mm 和 12mm ，其中现浇板的板面钢筋直径不宜小于 8mm 。如图 3-3 所示。     图 3-3 板的配筋 176 图 3-3 板的配筋 （ 2 ）板的钢筋强度等级及 常用直径 为了便于浇注混凝土，以保证钢筋周围混凝土的密实性，板内钢筋间距不宜太密，为了正常地分担内力，也不宜过稀。钢筋的间距一般为 70 ～ 200 mm ；当板厚 h ≤150mm ，不宜大于 200 mm ；当板厚 h ＞ 150mm ，不宜大于 1. 5 h ，且不应大于 250mm 。     s h 受力钢筋 分布钢筋 177 ► 采用 HPB235 （ Ⅰ 级）、 HRB335 级（ Ⅱ 级）和 HRB400 级（ Ⅲ 级）钢筋； ► 常用直径 6 、 8 、 10 和 12 mm ，现浇 板的板面钢筋直径不宜小于 8 mm ； ► 板钢筋的间距一般为（ 70~200 mm ) ； ► 板厚 h ≤150 mm ，筋间距 ≤ 200 mm ； h ＞ 150 mm ， 筋间距 ≤ 1.5h 且 ≤ 250 mm 。 • 板的纵向受拉钢筋 178 2 ）板的分布钢筋 当按单向板设计时，除沿受力方向布置受拉钢筋外，还应在受拉钢筋的内侧布置与其垂直的分布钢筋，如图 3-3 所示。 分布钢筋宜采用 HPB235 级（ Ⅰ 级）和 HRB335 级（ Ⅱ 级）的钢筋，常用直径是 6mm 和 8mm 。单位长度上分布钢筋的截面面积不应小于单位宽度上受力钢筋截面面积的 15 ％，且不宜小于该方向板截面面积的 0.15 ％；分布钢筋的间距不宜大于 250mm 。 板中分布筋的作用： ① 把荷载分布到板的各受力钢筋上去； ② 承担混凝土收缩及温度变化在垂直于受力钢筋方向所产生的拉应力； ③ 固定受力钢筋的位置。 179 （ 3 ）纵向钢筋在梁截面内的布置要求 1) 下部钢筋水平方向的净距不小于钢筋直径 d ，也不小于 25mm ；上部钢筋的净距则不应小于 1.5d ，也不应小于 30mm 。 2) 竖向净距不小于钢筋直径也不应小于 25mm 。 3) 梁的纵向受力钢筋有时须放置成两层，甚至还有多于两层的。上、下钢筋应对齐，不能错列，以方便混凝土的浇捣。 4) 当梁的下部钢筋多于两层时，从第三层起，钢筋的中距应比下面两层的中距增大一倍。 180 （ 4 ）纵向受拉钢筋的配筋率 1) 截面的有效高度 h o 设正截面上所有纵向受拉钢筋的合力点至截面受拉边缘的竖向距离为 a s ， a s = c + d/2 （ c 为混凝土保护层厚度）。则合力点至截面受压区边缘的竖向距离 h o = h - a s h 是截面高度，对正截面受弯承载力起作用的是 h 0 ，而不是 h ，所以称 h 0 为截面的有效高度。 2) 纵向受拉钢筋的配筋百分率 ρ = A s / bh o ( ％ ) （ 3-2 ） 式中 A s — 纵向受拉钢筋的总截面面积，单位为 mm 2 ； bh o — 截面的有效面积， b 是截面宽度。 181 思 考 题   3.1 混凝土弯曲受压时的极限压应变 ε cu 取为多少？ 3.2 什么叫 “ 界限破坏 ” ？ “ 界限破坏 ” 时的 ε cu 和 ε s 各 等于多少？ 3.3 为什么要掌握钢筋混凝土受弯构件正截面受弯全过程 中各阶段的应力状态，它与建立正截面受弯承载力计 算公式有何关系 ？ 3.4 什么叫少筋梁、适筋梁和超筋梁？在实际工程中为什 么应避免采用少筋梁和超筋梁 ? 3.5 什么叫配筋率，它对梁的正截面受弯承载力有何影响？ 3.6 单筋矩形截面梁的正截面受弯承载力的最大值 M u,max 与哪些因素有关？ 182 思 考 题 3.7 双筋矩形截面受弯构件中，受压钢筋的抗压强度设 计值是如何确定的？ 3.8 在什么情况下可采用双筋截面梁，双筋梁的基本计 算公式为什么要有适用条件？ x≥2a s ′, x ＜ 2a s ′ 的双筋梁出现在什么情况下，这时应当如何计算？ 3.9 T 形截面梁的受弯承载力计算公式与单筋矩形截面 及双筋矩形截面梁的受弯承载力计算公式有何异同点？ 3.10 在正截面受弯承载力计算中，对于混凝土强度等级 小于 C50 的构件和混凝土强度等级等于及大于 C50 的 构件，其计算有什么区别？ 183 本节思考题 ： 混凝土弯曲受压时的极限压应变 ε cu 取为多少？ 超筋梁与适筋梁和少筋梁与适筋梁的界限是什么？ 应力等效原则是什么？ 四项基本假定是什么？ 基本计算公式的适用条件？ 掌握截面承载力计算两种问题的计算步骤。 184 Thank You For Listening 185 作业题 Charpter3-1 矩形截面钢筋混凝土简支梁，承受荷载情况为：永久荷载标准值（含自重） g k =2.5kN/m ，可变荷载标准值 q k =18kN/m ，结构安全级别为 Ⅱ 级，持久设计状况，环境为二类，计算跨度 l 0 =6m ，截面 b×h=200×500mm ，混凝土为 C20 ，钢筋为 Ⅱ 级，求跨中截面纵向受力钢筋面积，并选配钢筋。 Charpter3-2 某钢筋混凝土简支梁，跨中弯矩设计值 M=194kN.m ，二类环境条件，混凝土为 C20 ，钢筋 Ⅱ 级， b×h=250×600mm ，试进行配筋计算。 186 补充 例题 1 187 188 补充 例题 2 189 190 191 补充 例题 3 192 193