《自动控制理论》讲稿
《自动控制理论》讲稿
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自动控制原理是自动化类专业基础课，是自动控制技术的基础，是研究自动控制共同规律的技术科学。
自动控制理论可分为自动控制原理（经典控制理论）和现代控制理论。开始主要用于研究工程技术领域的自动控制问题，现已将其应用范围扩展工程领域，如应用到经济学、生物医学、社会学、生产管理等领域。自动控制理论已成为普遍使用的基础理论。
我们本学期介绍的自动控制原理是自动控制技术基础的基础，计划授课85学时，其中10学时用于实验。
参考书：
《自动控制原理》，天大、技师、理工合编，天津大学出版社;
《自动控理论》，两航一校合编，国防工业出版社;
《现代控制工程》，（日），绪方胜彦，科出版社;
《自动控制系统》，（美），本杰明，水利电力出版社;
《线性系统理论》
《反馈控制理论》
自动控制理论：经典控制理论（自控原理）
现代控制理论
自动控制理论的划分是以控制理论发展的不同阶段人为归纳为：
建立在时域法、频率法和根轨迹法基础上的经典控制理论和建立在状态空间法基础上的现代控制理论。
经典控制理论：主要研究单输入、单输出（SISO）线性定常系统的分析和设计问题。其基本方法是采用描述输入-输出关系的传递函数为基础，包括：时域法、频域法、根轨迹法、相平面法等，工具：乃氏曲线，伯德图，尼氏图，根轨迹等曲线。现代控制理论：主要研究具有多输入-多输出系统（MIMO）、变参数系统的分析和设计问题。基本方法是：采用描述系统内部特征的状态空间的方法，更多的采用计算机作为其工具。
自动控制原理包括下列内容：
第一章：控制理论的基本概念， 开、闭环，分类
第二章：数学模型 即：描述系统运动状态的数学表达式——微分方程、传递函数、结构图信、号流程图
第三章 时域分析法：动态性能、静态性能、一二阶系统分析
第四章 根轨迹分析法：常规根轨迹、特殊根轨迹
第五章 频域分析法：频率特性、频域指标、频域分析
第六章 系统综合与校正
第七章 非线性系统与分析
第八章 采样控制系
学习要求：
1.掌握自动控制系统的一般概念及其组成与分类；
2.掌握控制系统的基本性能要求。
教学内容：
§1-1 概述
§1-2 自动控制的基本方式
§1-3 自动控制系统的类型
§1-4 本章小结
§1-5 思考题与习题
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第一章 引论（控制理论的一般概念）
第一节 概述
自动控制：在没有人直接参与的情况下，利用控制装置使被控对象的某一物理量自动地按照预定的规律运行的
控制，称为自动控制。
前提：没有人直接参与
目标：被控对象（某一物理量）
手段：利用控制装置
自动控制的发展：
本世纪20-40年代，一些国防和通信自动化系统的研制，终于形成了以时域法、频率法和根轨迹法为支柱的"古典"控制理论。
60年代以来，随着计算机技术的发展和航天等高科技的推动，在古典控制理论的基础上，又产生了基于状态空间模型的所谓"现代"控制理论。同时，随着自动化技术的发展，人们力求使设计的控制系统达到最优的性能指标，为了使系统在一定的约束条件下，其某项性能指标达到最优而实行的控制称为最优控制。而当对象或环境特性变化时，为了使系统能自行调节，以跟踪这种变化并保持良好的品质，又出现了自适应控制。
尽管出现的各种理论都精辟而透彻，但在实践中常常发现仍是古典频域法最为适用。究其原因，在于复杂理论所基于的精确模型难以得到。真正优良的设计必须允许模型的结构和参数不精确并可能在一定范围内变化，即具有鲁棒性。另外，使理论实用化的一个重要途径就是数学模拟（仿真）和计算机辅助设计（CAD）。
目前谈到的主要是针对线性系统的线性理论。近年来，在非线性系统理论离散事件系统，大系统和复杂系统理论等方面均有不同程度的发展。智能控制在实用方面也得到了很快的发展，它主要包括专家系统、模糊控制和人工神经元网络等内容。
我们向大家介绍的古典控制理论是自动控制理论中最基本也是最重要的内容，它在工程实践中用的最多，也是进一步学习自动控制理论的基础。
自动控制例子：
1。化工反应塔恒温恒压控制
2。数控机床
3。火炮跟踪雷达的随动控制
4。人造卫星
都是：自动控制技术的结果。
最简单的例子： 洗衣机；电冰箱、电暖气等
洗衣机：将定时器设定为3分钟，洗衣机达到设定值之前一直工作，时间到了，洗衣机停止工作。
可见：设定时间只确定了开关时间长短与衣物洗涤程度无关。
换言之：洗衣机不会根据衣物洗涤程度自动调整时间，控制装置与被控对象之间只有顺向作用。
电冰箱：设定温度T，冰箱接通电源后将启动压缩机（制冷），冰箱中温控器将检测实际温度并与设定温度比较，决定停止、启动压缩机工作。
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可见：实际温度将维持在给定温度附近，
除了控制装置与被控对象之间具有顺向作用外，还存在反向联系。
第二节自动控制的基本方式
一、开环控制
开环控制是指控制装置与被控对象之间只有顺向作用而没有反向作用的控制过程。
框图
方框表示：控制装置、被控对象，信号用线段表示，箭头表示信号的传递方向，进入方框的箭头表示输入信号（输入量），引出方框的箭头表示输出信号（输出量）。
二、闭环控制（反馈控制）
闭环控制是指控制装置与被控对象之间既有顺向作用又有反向联系的控制过程。
框图：
：表示比较装置；反馈：通常将被控量经反馈装置引到输入端并与输入信号比较，称此过程为反馈。 若反馈信号与输入信号相减，而使误差信号值越来越小，则称反馈为负反馈， 反之：称为正反馈。
特别说明：
以负反馈原理组成的闭环系统才能实现自动控制的任务。 通常：因为讨论的问题均具有负反馈的特点，所以研究的《自动控制原理》也可称为《反馈控制理论》。
三、开环控制与闭环控制比较
开环控制：结构简单，成本低廉，工作稳定但开环控制不能自动修正被控制量偏高。（系统结构和控制过程均很简单，但抗扰能力差。控制精度不高，一般只用于对控制性能要求较低的场合。）
闭环控制：具有自动修正被控制量出现偏差能力，因此可修正元件、参数以及外界扰动引起的误差。（能减小或消除由于扰动所形成的被控量的偏差值，因而具有较高的控制精度和较强的抗 扰能力。）
四、 复合控制
复合控制是开环控制和闭环控制相结合一种控制方式。
实际上：在闭环控制基础上，附加一个输入或扰动作用的顺馈通路，来提高系统控制精度。
1．按输入作用补
2．按扰动作用补偿
能在扰动（可测量）对系统产生不利影响前，提供一个控制作用以抵消扰动对输出影响。
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五．自动控制系统
系统：为完成一定任务的一些部件按一定规律组合成一个有机的整体。
自动控制系统：能够对被控对象的工作状态进行自动检测控制的系统称为自
动控制系统。
自动控制的基本控制方式就是开、闭环控制。
一般框图：
参考输入r （指令信号）
主反馈信号b（量纲与参考输入同）
偏差信号e（e= r - b）
控制信号u（控制装置产生）
扰动信号n：影响输出的信号
被控制量c (系统的输出)
第三节自动控制系统的类型
1.按给定输入的形式：随动系统、恒值系统和程序系统
若系统的给定值为一定值，而控制任务就是克服扰动，使被控量保持恒值，则为恒值系统；
若系统的给定值按照事先不知道的时间函数变化，并要求被控量跟随给定值变化，则为随动系统；
若系统的给定值按一定的时间函数变化，并要求被控量随之变化，则为程序控制系统。
2．线性和非线性系统
若一个元件的输入、输出的关系曲线为直线，则称该元件为线性元件，否则称为非线性元件。若一个系统中所有的元器件均为线性元器件，则系统称为线性系统；若系统中有一个非线性元器件，则该系统称为非线性系统。
定常系统和时变系统
从系统的数学模型来看，若微分方程的系数不是时间变量的函数，则称为定常系统，否则称为时变系统。
3．连续系统和离散系统
从系统中的信号来看，若系统中各部分的信号都是时间的连续函数即模拟量，则为连续系统；
若系统中有一处或多处信号为时间的离散函数，则为离散系统；
若系统中既有模拟量也有离散信号，则为采样系统。
4．单输入单输出系统与多输入多输出系统
5．确定系统与不确定系统
6．集中参数和分布参数系统
学习自动控制原理的目的：
学会分析自动控制系统和设计自动控制系统的基本方法。
描述一个自动控制的标准：（稳、准、快）:
1．系统能正常工作（稳定性）
2．系统动态性能（灵敏度，快速性）
3．系统稳态性能好（稳态误差小）
小结:
自动控制理论可分为经典控制理论和现代控制理论两部分。在此，我们主要介绍经典控制理论（也称自动控制原理）。
自动控制就是在无人直接参与的情况下，利用控制装置操纵受控对象，使被控量等于给定值。
自动控制的基本方式有开环控制和闭环控制两种，开环控制结构简单，但抗扰能力差，控制精度不高；自动控制原理中主要讨论闭环控制方式，其抗扰能力强，控制精度高，但存在能否正常工作，即稳定与否的问题。
自动控制系统可按不同分类方法进行归类。
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一般地，可从稳、快、准等几方面性能来评价自动控制系统。这几方面性能往往是相互制约的，在实际分析设计中，应在满足主要性能要求的同时，兼顾其它性能。
要求：
(1) 掌握有关自动控制的基本概念，明确控制系统的任务、组成及控制装置各部分的作用。
(2) 了解系统的基本控制方式及特点，正确理解负反馈控制原理。
(3) 正确理解对控制系统稳、准、快的要求。
(4) 通过线性定常系统微分方程的特点。
问答题:
1．试举出日常生活中的几个开环、闭环控制系统的例子，并说明它们的工作原理。
2．试举两个以人为控制器的反馈控制系统的例子。
第二章 线性系统的数学模型
学习要求：
1、掌握建立数学模型的一般原理，传递函数的概念，对于不很复杂的系统能够写出传函；
2、掌握方框图及信号流图化简原则，利用方框图或信号流图求传递函数；
3、掌握几种典型环节的传递函数及其动态的响应；
4、了解开环传递函数、闭环传递函数、在给定和扰动作 用下的闭环传递函数及由给定和扰动引起的误差传递函数。
（内容介绍：微分方程、传递函数、结构图、信号流图）
2-1 控制系统的微分方程
一、数学模型的概念：
工程的最终目的是构建实际的物理系统，以完成某些规定的任务。如一个实际的调速系统，温控系统等。
采用的方法可分为经验法和解析法去完成设计任务。
经验法中，依靠丰富的经验，加之试凑方法。对比较简单系统，可得到满意结果，对复杂系统，往往采用解析法。解析法的采用其前提是应先建立其数学模型，即先建立描述这一系统运动规律的数学表达式。
对一个复杂系统，建立数学模型一般较困难。
通常的办法是作一些简化系统的假设，将系统理想化，一个理想化的物理称作物理模型。
物理模型的数学描述称作数学模型。
建模：通常指建立物理模型的数学模型
经常遇到的一个问题是准确分析出哪些物理变量和相互关系是可以忽略的，哪些对模型准确度有决定性影响。
如：线性化问题：
实际物理系统一般均为非线性系统，只是非线性程度有所不同而已，许多系统在一定条件下可被近似视作线性系统，使问题得到简化。
工程中一般的做法是将模型简化为线性模型，以线性模型为基础，求得系统的近似特性，必要时，再采用较复杂模型进一步研究。
数学模型的描述方法可分为微分方程（一般系统），传递函数（研究输入-输出关系，线性定常系统）及图示方法（结构图、信号图）
建立数学模型方法分为 :机理法（介绍机理法建立和步骤）；实验辩识法
二、线性系统的微分方程
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（微分方程是描述自动控制系统动态特性的最基本方法。一个完整的控制系统通常是由若干元器件或环节以一定方式连接而成的，系统可以是由一个环节组成的小系统，也可以是由多个环节组成的大系统。对系统中每个具体的元器件或环节按照其运动规律可以比较容易地列出其微分方程，然后将这些微分方程联立起来，以求出整个系统的微分方程。）
经典理论（自动控制原理）中着重研究系统的输入与输出的关系。因此采用系统的输入-输出描述或称为外部描述，其目的在于通过该数学模型确定被检测量与给定量或扰动量之间的关系。
设：给定量或扰动量为系统的输入量 r , n
被控制量称为系统输出量 y , c
系统的输出量在系统输入量作用下的变动过程称作系统的响应。
考查：输入量、输出量之间微分方程描述的数学模型。
获取微分方程的步骤：
1．了解系统的工作原理，列出输入量、输出量
2．列写原始方程
3．消去中间变量
4．写出描述输入-输出关系微分方程
微分方程是线性方程时，且各项系数均为常数则描述的系统为线性定常系统。
建立数学模型的目的之一是为了用数学方法定量地对系统进行分析。当系统微分方程列出后，只要给定输入量的初始条件，便可以对微分方程求解。
例1．电机在 Ua作用下带动负载转矩为ML物体以w角速度旋转。
电枢控制式的直流电动机：
解：
1．输入量：Ua、ML
输出量：w
2．列写原始方程
电枢回路方程：
3．消去中间变量ia , Ea , Mm
从方程可看：输入、输出及各阶导数之间无乘积关系
可见：方程线性
输入、输出及各阶导数为常数
可见：方程为线性定常系统。
当ML =0（空载），ML =常数（固定负载），
时，
方程均有变化
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La =0时，且ML =常数
用图示：
例2．直流电机的调速
设La=0
输入量Ur 、ML ，输出w
列原始方程：
消去中间变量：
可见：系统为线性定常一阶系统
负载ML可视为特殊输入量，=0时
一般考虑线性定常系统（单输入-单输出系统）表达式
其中假定：
ai(i=0,1,...n)
bj(j=0,1,...m)
均为常数，且n3m
可见：
微分方程是在时间域内描述系统动态性能的数学模型。
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第二节 线性化
非线性程度不严重或在一定范围内可近似为线性系统的非线性系统可化为线性系统处理。
线性系统具有齐次性、叠加性。对非线性系统的线性化处理可使系统的设计和分析简化。
就线性系统而言：分析和设计方法较简单，成熟。
本课就是介绍线性系统分析与设计方法。
（除第七章介绍本质非线性系统处理）
线性化方法有三类：
1.忽略次要因素
2.弦近似（以弧代曲）
3.切近似
常用切近似方法对非线性系统线性化。
具体作法：在工作点附近进行泰勒级数展开。
设y=f(x),a为某工作点，a(x0,y0)
y=f(x)
忽略二次以上高阶项
可以在a附近用直线代替了非线性特性
第三节传递函数
前已叙述，可用微分方程描述系统运动状态，
求解微分方程可得到系统的响应，方法直观。
对一类特定的线性定常微分方程，可用拉氏变换方法分析、求解，引出传递函数概念。
一． 复习拉普拉斯变换：
拉普拉斯变换及其反变换的定义：
一个定义在[0，∞]，即（0≤t<∞）区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F（s）的定义为
式中s=σ+jω为复数。F（s）称为f(t)的象函数，f(t)称为F（s）的原函数。拉普拉斯变换简称为拉氏变换，F（s）又称为f(t)的拉氏变换式。记为 。拉氏变换是线性变换，满足叠加性和齐次性。
如果F（s）已知，要求出它所对应的原函数f(t)，则由F（s）到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它的定义为：
为书写简便起见，通常可用记号"L[ ]"表示对方括号里的函数作拉氏变换，即
用记号"L-1[ ]"表示对方括号里的函数作拉氏反变换，即
用拉氏变换法求解线性电路的时域响应时，要求把响应的拉氏变换式反变换为时间函数，这就是拉氏反变换。
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常见的L变换：
原函数f(t) 象函数F(s)
d(t) 1
1(t) 1/S
t n
e-a t 1/s+a
sinwt w /w2+s2
coswt s / w2+s2
t n e- a t n!/(s+a) n+1
拉氏变换的基本性质
(性质1 唯一性：由定义式所定义的象函数F（s）与定义在[0，∞）区间上的时域函数f(t)存在着一一对应的关系。）
1．线性定理(性质2 线性性质：)令f1 (t)和 f2 (t)是2个任意的时间函数，且它们的象函数分别为F1（s）和F2（s），a和b是2个任意的常数，于是：
L[a f1 (t)+ b f2 (t)]= a L[f1 (t)]+ b L[f2 (t)]
= a F1（s）+ b F2（s）
2．微分定理（性质3 （时域）导数性质）：原函数f(t)的象函数与其导数f-'(t)=df(t)/dt的象函数之间有如下关系：
L[f '(t)]=sF(s)-f (0-)
式中的f (0)为原函数f (t)在t=0-时的值。
3．积分定理（性质4（时域）积分性质）： 原函数f (t)的象函数与其积分的象函数之间有如下关系
（性质5 卷积定理 设f1 (t)和 f2 (t)的象函数分别为F1（s）和F2（s）则卷积f1 (t) f2 (t)的拉氏变换为F1（s）F2（s）,即
）
4（性质6） 延迟定理：
5（性质7） 相似定理：
6．初值定理：
7．终值定理：
L氏变换用于求解线性定常微分方程（将微分运算化为代数运算）
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例：
注：零初值响应与输入及内部结构、参数有关。对零初值响应的分析就是
对系统内部结构、参数的分析。
二、传递函数
定义：线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的L氏变换与输入量L氏变换之比，称为该系统的传递函数G（S）
C(s)/R(s)=G(s)
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
式中c（t）系统输出量； r（t）系统输入量；
a（i =0,1,…,n）和b(j =0,1,…,m)__与系统结构和参数有关的常系数。
于是，由定义得系统的传递函数为
则有C（s）=G（s）R（s）; 输入量R (s)经传递函数G（s）的传递后，得到了输出量C（s）
传递函数的性质：
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1、传递函数是复变量s的有理分式，其分子M（s）和分母N（s）的各项系数均为实数，由系统的参数确定。当传递函数为n阶时，即称为n阶系统。
2、传递函数是物理系统的一种数学描述形式，它只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量无关。
3、传递函数G(s)的拉氏反变换是单位脉冲响应g(t)。
4、服从不同物理规律的系统可以有同样的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用形式相同的微分方程描述一样，故它不能反映系统的物理结构和性质。
5、传递函数只描述系统的输入输出特性，而不能表征系统内部所有状况的特性。
6、传递函数是将线性定常系统的微分方程作拉氏变换后得到的，因此，传递函数的概念只能用于线性定常系统。
传递函数的零点和极点： G(s)=C(s)/R(s)
将上叙定义式的分子和分母分解因式，传递函数表达式又可表示为：
式中K__放大系数。
传递函数分子多项式的根称为传递函数的零点，传递函数分母多项式方程，即传递函数的特征方程的根称为传递函数的极点。一般零点、极点可为实数，也可为复数，若为复数，必共轭成对出现。
传递函数的求取：
传递函数的求取方法很多，也很灵活，一般可由下列途径获得。
1、由系统的原理图求传递函数；
2、由系统的微分方程求传递函数；
3、由系统的结构图求传递函数；
4、由系统的频率特性曲线求传递函数；
5、由系统的响应曲线或响应的解析式求传递函数。
本章主要强调由系统微分方程组建立动态结构图，并通过结构变换求取传递函数的方法。具体方法详见例题部分。
三、典型环节
典型环节的传递函数
控制系统是由若干元部件或环节组成的，那么一个系统的传递函数总可以分解为数不多的典型环节的传递函数的乘积。逐个研究和掌握这些典型环节的传递函数的特性，就不难进一步综合研究整个系统的特性。
1．比例环节
作用：能将输入信号放大或缩小的环节
输出量与输入量成比例关系叫比例环节，也称为无惯性环节。
比例环节的微分方程为 y(t)= K x(t)
两边取拉氏变换得 Y（s）=K X (s)
比例环节的传递函数为 G（s）== Y（s）/ X (s)=K
方框图
实际对象如：杠杆、放大器、传动链之速比、测速发电机的电压与转速
2、惯性环节(一阶环节)
这种环节具有一个储能元件，惯性环节的微分方程为
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式中t --惯性环节的时间常数；K--_环节的比例系数。
两边取拉氏变换得
tS Y(s)+Y(s)=K X (s)
(tS+1) Y(s)= K X (s)
惯性环节的传递函数为 G（S）=1/ts+1
考查单位阶跃响应：
设x(t)=1(t),求y(t)=?
解：
t=0时，y=0 ； t=t时，y(t)= 0.75
t=2t时，y=0.87; t=3t时， y(3t)=0.95
t=无穷时，y=1
动态响应曲线：
3、积分环节
积分环节的输出量等于输入量对时间的积分即
其传递函数
式中 T__积分时间常数。
在单位阶跃信号作用下的响应为 ,
b）
如图 a、b所示。
图 积分环节框图及其动态响应曲线
4、微分环节
理想的微分环节是指输出量与输入量的一阶导数成正比的环节，其微分方程为：
式中 t --_微分时间常数。
微分环节的传递函数为
a) b)
图2-9 实际微分环节及其动态响应曲线
实际上，微分特性总是含有惯性的，纯微分环节只是数学上的假设。实用微分环节的传递函数是
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实际微分环节在单位阶跃信号作用下的响应为
如图2-9 a、b所示。
5、一阶微分环节
一阶微分环节的微分方程为
传递函数为
6、振荡环节
振荡环节的微分方程为
式中 T__振荡环节的时间常数；
图2-10 振荡环节及其动态响应曲线
ζ振荡环节的阻尼比。
振荡环节的传递函数为
式中 振荡环节的自然振荡角频率。
振荡环节的动态响应为
式中 。振荡环节的框图及其动态响应曲线如图2-10所示。
振荡的强度与阻尼比ζ有关，ζ值越小，振荡越强；当ζ=0时，输出量为等幅振荡曲线，振荡的频率为自然振荡频率, ζ值越大则振荡越小；当ζ≥1时环节输出量则为单调上升曲线；当0<ζ<1时，振荡环节的动态响应曲线具有衰减振荡特性。
7、时滞环节
时滞环节也称延迟环节。输出为输入信号的延迟。
数学表达式为
图2-11 时滞环节及其动态响应曲线
式中 τ延迟时间。
传递函数为 （将时滞环节展开成泰勒级数，并略去高次项）
从简化后的传递函数来看，时滞环节在一定条件下近似为惯性环节。
时滞环节的动态响应如图2-11B所示，输出与输入波形相同，但延迟了时间，系统中有延迟环节时，可能使系统变得不稳定，且τ越大对系统的稳定越不利。
四、一般传递函数获取：
步骤：
1． 了解原理，找出输入、输出（r(t),y(t)）
2． 列原始方程（各环节方程）
3． 消去中间变量
4． 在零初始条件下，取L变换，
例1． 无源网络
例2． 运放组成环节的传递函数
例3． 直流电机电拖控制
可看到：
不同的物理系统，可得到系统的数学模型；数学模型相同的物理系统，称为相似系统。相似系统具有相同的内在运动规律。在以后的分析中，可能不顾及具体的物理系统，而偏重于其数学模型的分析。
特别说明：线性系统是由各典型环节组成，典型环节概念只适用于能用线性定常数学模型描述的系统
第四节方框图
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建立自动控制系统的传递函数的图示方法-方框图（结构图、方块图）和信号流图，是控制系统结构描述的数学方法；是描述系统各组成元、部件之间的信号传递关系的数学图形。（控制系统是由一些典型环节组成的，将各环节的传递函数框图，根据系统的物理原理，按信号传递的关系，依次将各框图正确地连接起来，即为系统的方框图。方框图是系统的又一种动态数学模型，采用方框图更便于求传递函数，同时能形象直观地表明各信号在系统或元件中的传递过程。）
一、方框图的组成
系统的方框图，是由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号线组成。
包括：
信号线（物理量）： 表示系统中信号的流通方向，一般在线上标注信号所对应的变量。注意，信号只能沿箭头方向流通，即信号的传递具有单向性。
取出点： 表示信号从该点取出。注意，从同一信号线上取出的信号，大小和性质完全相同。（信号引出或测量的位置）
比较点： 表示两个或两个以上信号在该点相加（+）或相减（-）。注意比较点处信号的运算符号（正、负）必须标明，一般不标明则取正号。
方框：（环节）表示输入、输出信号之间的动态传递关系，有运算关系：
Y（S）=G（S）X（S）
方框输出信号等于方框输入信号与方框中传递函数的乘积。
方框图的特点：
1、依据微分方程或经拉氏变换得到的变换方程，可以方便地画出结构图。再经过结构图的等效变换，便可求出图中任意两信号（变量）间的传递函数。
2、结构图对研究整个控制系统的动态性能及分析各环节对系统总体性能的影响，比较形象和直观。
3、同一系统，可以画出不同形式的结构图，即结构图对所描述的系统来说不是唯一的。但是，经结构变换所得的结果应该是相同的，即同一系统的传递函数是唯一的。
4、结构图只包括与系统动态特性有关的信息，并不显现系统的物理结构，不同的物理系统有可能具有相同的结构图。
方框图的绘制步骤：
1、首先按照系统的结构和工作原理，分解出各环节，确定各元部件或环节的输入量与输出量，并写出它的传递函数。
2、绘出各环节的动态框图，框图中标明它的传递函数，并以箭头和字母符号表明其输入量和输出量。
3、将系统的输入量放在最左边，输出量放在最右边，按照信号的传递顺序把各框图依次连接起来，就构成了系统的动态结构图。
在方框图中，沿信号传递的方向，从系统的输入端到输出端的信号通路，称为前向通路；从系统的输出端返回输入端的信号通路，称为反馈通路。在绘制动态结构图时，一般先按从左到右的顺序绘制出前向通路的结构图，然后再绘制反馈通路的结构图。
例2-4：画出图2-12所示电路的方框图。
图2-12 例2-4电路图 图2-13 方框图
解：根据电路列出如下方程：
由上式得
由上述各式可画出结构图如图2-13所示。
二、联接方式
1．串联：环节首尾相联的方式。
Y(S)=G2(S)U(S)=G2(S)G1(S)X(S)
等效：
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其中G（S）=G1(S)G2(S)
2．并联：环节输入信号相同，输出信号相加（减）
等效：
其中 G（S）=G1(S)±G2(S)
3.反馈联接 主通道：由输入信号开始经G(S)到输出通道称为主通道，也称前向通道。 反馈通道：由取出点经反馈装置到主反馈 B(S)的通道称为反馈通道，也称反馈通路。
可见：E(S)=R(S)-B(S)为偏差信号 定义：开环传递函数GK(S)=B(S)/E(S) 主反馈信号与偏差信号之比
B(S)=H(S)y(S)= H(S)G(S)E(S)
所以B(S)/E(S)=H(S)G(S)=G(S)H(S) 前向通路的传递函数：输出信号与偏差信
号之比：G
闭环传递函数：
三、方框图变换与简化
变换法则：
变换前后前向通路中的传递函数乘积不变
变换前后，回路中的传递函数乘积不变
途径：移动汇合点或取出点（）
例：
四、一般反馈控制系统的结构图
1.传递函数
①
②
2.误差传递函数
第五节信号流图
采用&2-4中的方法可使系统简化，但对复杂系统其变换和化简过程往往繁琐而费时。
本节介绍一种方法，可利用信号传递的网络，用公式求得系统中任意两变量之间的传递关系。
一、构成：
用节点和有向线段表示系统的变量和变量之间的关系。
表示为x2=ax1
在信号流图中，用符号"Ο"表示变量，称为节点。节点之间用有向线段连接，称为支路。支路是有权的。通常在支路上标明前后两变量之间的关系，称为传输。（信号流程图是一种将线性代数方程用图形表示的方法。）
例． 设有线性方程组：
信号流图的绘制
116
信号流图中的常用术语：
节点：表示变量或信号的点。
支路：起源于一个节点，终止于另一个节点，而这二个节点之间不包括或经过第三个节点。
出支路：离开节点的支路。
入支路：指向节点的支路。
源节点：只有出支路的节点，对应于自变量或外部输入。
汇节点：只有入支路的节点，对应于因变量。
混合节点：既有入支路，又有出支路的节点。
通道：又称路径，从一个节点出发，沿着支路的箭头方向相继经过多个节点的支路。一个信号流图可以有很多通道。
开通道：如果通道从某节点开始，终止在另一节点上，而且通道中每个节点只经过一次，则该通道称为开通道。
闭通道：如果通道的终点就是通道的始点，并且通道中每个节点只经过一次，则该通道称为闭通道或反馈环、回环、回路等。如果从一个节点开始，只经过一个支路又回到该节点的，称为自回环。
前向通道：从源节点开始到汇节点终止，而且每个节点只通过一次的通道，称为前向通道。
不接触回环：如果一些回环没有任何公共节点，就称它们为不接触回环。
支路传输：两个节点之间的增益。
通道传输或通道增益：沿通道各支路传输的乘积。
回环传输或回环增益：闭通道中各支路传输的乘积。
二、信号流图的基本性质：
1．节点信号是输入信号的叠加。
（以节点代表变量。源节点代表输入量，汇节点代表输出量。用混合节点表示变量或信号的汇合。在混合节点处，出支路的信号等于各入支路信号的叠加。）
2．信号沿支路流通具有方向性
（以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相当于在方框图中经过一个用方框表示的环节。）
3．增加一个具有单位传输的支路，可以把混合节点化为汇节点。
4．对于同一个系统，信号流图的形式不是唯一的。
例1．
设网络中电流如图所示
则
例2．直流电机调速系统信号流图
三、信号流图的等效变换
1.串联支路的总增量等于各支路增量的乘机。
2.并联支路的总增量等于各支路增量的和
3.混合节点可通过移动支路方法消去
4.回路可根据反馈联接规则化为等效支路。
例1．
例2．
四、梅逊公式
以上公式表明：通过对信号流图的分析与观察，可求出从源节点到任意节
点间的增益P（输出量与输入量间的传递函数）。
n：从源节点（输入）到汇节点（输出）的前向通路总数。
Pk：第k条前向通路增益
116
D：D=1-?La+?Lab-?Labc? 系统特征式
?La：所有单回路增益之和
?Lab：每两个互不接触回路增益乘积之和
…
Dk：特征式，与第k条前向通路不接触部分之和。
例1． P37，2-9
例2． P37，2-10
小结：
（1）数学模型是描述系统（或元件）动态特性的数学表达式，是从理论上进行分析和设计系统的主要依据。
（2）本章介绍了线性定常系统的四种数学模型：微从方程、传递函数、动态结构科和信号流图。微分方程是描述自动控制系统动态特性的基本方法。传递函数是经典控制理论中与更为重要的模型，它是从对微分方程在零初始条件下进行拉氏变换得到的，在工程上用得最多。动态结构图是传递函数的一种图解形式，它能直观、形象地表示出系统各组成部分的结构及系统中信号的传递与变换关系，有助于对系统的分析研究。对于较为复杂的系统，应用信号流图更为简便，用梅逊公式可直接求出系统中任意两个变量之间的关系。
（3）一个复杂的系统可以分解为为数不多的典型环节，常见的典型环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和时滞环节等，熟悉各典型环节数学表达式和响应特性有助于对复杂系统的动态分析和设计。
（4）. 对于同一个系统，不同的数学模型只是不同的表示方法。因此，系统动态结构图与其它数学模型有着密切的关系。由系统微分方程经过拉氏变换得到的变换方程，可能很容易画出动态结构图。通过动态结构图的等效变换可求出系统的传递函数。对于同一个系统，动态结构图不是唯一的，但由不同的动态结构图得到的传递函数是相同的。
（5）. 一般地讲，系统传递函数多是指闭环系统输出量对输入量的传递函数，但严格说来，系统传递函数是个总称，它包括几种典型传递函数：开环传递函数、闭环传递函数、在给定和扰动作用下的闭环传递函数及由给定的扰动引起的误差传递函数。
要求：
（1）. 熟悉建立系统（或元部件）微分方程的步骤和方法，掌握运用拉氏变换解微分方程的方法。
（2）. 牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及其传递函数。
（3）. 掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取。
（4）. 掌握应用梅逊公式求取系统闭环传递函数的方法。
（5）. 掌握从其它不同形式数学模型求取系统传递函数的方法。
问答题:
1．拉普拉斯变换的核心是什么？
2．如何用拉普拉斯变换的方法解线性定常微分方程？
3．传递函数定义中的前提是什么？
4．典型环节与系统结构图的关联。
5．使用公式法的优点。
6．什么是线性化方法？
第三章：时域分析法
本章介绍分析控制系统的基本分析方法。分别为：时域分析法、根轨迹法、频率分析法）
内容介绍：概念、动态性能、稳态性能、稳定性、一、二阶系统
第一节 基本概念
一．典型输入信号
系统的响应取决于: 系统本身的特性；外加输入信号的形式
116
试验信号选取 : 典型形式应反映系统工作的大部分实际情况
应尽可能简单，便于分析处理
能使系统工作在最不利情况下的输入信号
在控制工程中，常常采用的典型 信号有以下数种时间函数。
1． 阶跃函数
当取R=1时，叫单位阶跃函数，记作1(t)
f(t-t0)延迟t0时刻阶跃函数
2． 脉冲函数
实际脉冲函数
其中，脉冲宽度为h，脉冲面积等于1
理想脉冲函数：
且R=1时称为单位脉冲函数
3． 速度函数（或斜坡函数）
R=1时为单位斜坡
4． 加速度函数
5． 正弦函数
f(t)=Rsinwt
二、暂态响应和稳态过程
1．暂态响应：系统从刚加入信号到系统输出量达到稳定值之前的响应过程，也称动态过程。
系统的动态过程表现为摔减、发散或等幅振荡形式。
很明显：一个可实际运行的系统，其动态过程应为衰减的。
换句话说：应该是稳定的。
2．稳态过程：系统时间趋于无穷的响应过程，称为稳态过程又称静态过程。
一个系统的响应均由动态过程和稳态过程组成。
（动态响应+稳态响应）
可分别表示：响应速度和阻尼等情况及系统输出量复现输入能力，那稳态误差信息，用动态性能，静态性能表征。
三、性能指标
1．动态性能：又称为暂态性能，通常在阶跃 作用于定义
实际中：阶次信号被认为是一种最严峻信号,且假设：外界信号作用前，系统是静止。（输出量及其各导数均为0）
1）、上升时间：tr
116
对无振荡响应，输出第一次达到对应于输入的终值的时间（从t=0开始计时）。（另：从其稳态值的10%上升到90%所需时间。）
对有振荡的系统，响应第一次达到稳态值的时间
上升时间小，说明系统响应快
2）、峰值时间：tp
响应超过稳态值第一次达到峰值所需时间。
3）、调节时间：ts
响应达到，并停留在稳态值的±5%的误差范围内所需时间（有时±2%）
4）超调量：（）Mp
响应的最大值
5）振荡次数：
6）延迟时间：
2．稳态性能：又称静态性能
稳态误差是稳态性能的一种性能指标。
通常在阶跃函数、斜坡函数、加速度函数作用下讨论
将在后面专节讨论。
四．系统在任意外作用下的时间响应
C(s)=G(s)R(s) r(t)为任意作用函数
C(t)=k(t)*r(t) 称为k(t)、r(t)卷积分
第二节稳定性
引出：小球在凹、凸曲面运动规律。
一． 定义：如果系统受到外界扰动，无论其初始偏差多大，取消扰动后系统都能以足够的准确度恢复到初始状态，称这样的系统为稳定系统。
系统的稳定性是系统能正常工作的前提。
系统的稳定性事实上反映在系统的动态响应中。
考察一个系统如图所示：
假设：系统外作用前为平衡状态，即c(t)?0
设r(t)= d(t)
则
其中1+GH=0 为特征方程
改写：
假设:
P1，…，Pn为特征根
P1，…，Pk为实根
Pk+1，…，Pn为共轭复根，
则：
116
共轭复根（复极点）与二阶振荡环节相对应。
可见：
因为Pi为实根，- xjwj为复根实部
所以特征根均具有负实部作为系统恢复到原平衡状态的条件。
结论：线性定常系统稳定?特征根均具有负实部
事实上：稳定性判断只须利用特征多项式。
二． 判据：
1． 设特征方程 1+G(s)H(s)=0
改写为：
[结论1：古尔维茨判据
n阶特征方程的根均具有负实部的充要条件是：特征方程的各项系数为正且下面各阶古尔维茨行列式为正。
Dn>0
D1,…,Dn-1称为系统的各阶
Dn为系统的主行列式
116
例、见书P88，例3-6]
2． 结论2：劳斯判据
设
劳斯表：
劳斯表中节列所有元素均大于0时系统稳定，反之则不稳定，且第一列元素符号改变的次数为具正实部特征根的数目。
例1：
Roty表：
所以系统不稳定，符号改变二次，有二正实部根（1，-6，5）
例：已知闭环传递函数
若系统稳定
则 30-K>0 且 k>0
所以0
0）
例：
116
有二个正实部特征根
2． 劳斯表中出现全0行
例：
出现全零行，说明特征方程有大小相等，符号相反的特征根
处理方法：
利用全0行上一行系数构成辅助方程
并对S求导，用所得方程的系数替代全0行
并继续用ROTH判据。
可见：不稳定，有一个正实部的特征根。
四． 应用
如何使系统具有较好的动态性能。稳定性对系统的动态性能有一定影响。一般认为：稳定性好，则对应动态性能好，而特征方程特征根在S平面上远离虚轴则稳定性好。
例：结构图：
系统为单位反馈系统
要求：
1.确定K 的稳定范围
2．闭环特征根（闭环极点）均位于S=-1垂线之左，求K=？
解：1
116
方法：可令特征方程S=S1-a，代入方程，D(s1)=0利用劳斯判据即可。
解：
为使在S1平面，根在左半部
须
11′15-40k+27>0
40k-27>0
所以0.6750,不稳定
②．z ￡ -1， 至少有一个正实根，不稳定
③．z=0， 两虚根，临界稳定
④．z>0时，系统稳定，分三种情况：
01，过阻尼
1． 欠阻尼系统01
3． 临界阻尼 z=1
第五节 两种改善性能指标的途径
一、 采用比例微分控制改善系统性能指标
二、 增加测速反馈改善系统性能
第六节 高阶系统分析
闭环传递函数
假设：传递函数闭环零、极点具有互不相同，既有实数也有共轭复数
1． 单位阶跃响应
2． 主导极点
原则：高阶系统中距离虚轴最近的极点其实部为其它极点实部的1/5或更小，而且附近无零点，
则该极点被视为系统中的主导极点，认为系统的响应主要由该极点决定，称为主导极点。
工程中一般系统为振荡的，所以主导极点成对出现。
对应主导极点响应表达式：
单位阶跃响应
例一：控制系统如图示：
1． 分析说明内反馈kf S对系稳定性的影响。
116
2． 试求位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数并说明kf S的存在对系统稳态误差影响。
解：1.当无内反馈时，kf =0
系统的开环传递函数
闭环传递函数
D(s)=s2+10=0
, 系统不稳定
加入内反馈kf=10
劳斯表
可见：只要Kf>0则系统稳定。所以增加内反馈K f S后改善了稳定性能。
3． 当无内反馈时
系统的误差系数分别为：
加入内反馈
116
KfS的存在，使得Ka(加速度误差系数)减小，且K f增大，则Ka将减小Ka的减小意味稳态精度降低。
例2．控制系统如图示：
输入信号和扰动信号都是单位阶跃函数时，考查稳态误差。
D(s)=s+k1k2=0, s=k1k2, 可见：k1,k2均大于0时稳定
因为
为了使扰动作用下的误差为0（消除扰动作用下误差）
可用特定G1(S)代替K1
扰动作用下的误差：
可见：为使其为0，G1中至少应有一积分环节。
结论：要使扰动作用下稳态误差为0，
116
则扰动作用与误差信号之间的传递函数G1中应至少有一个积分环节，
否则稳态误差不为0。
归纳；上述讨论系统中，被控对象Gp(S)为一型且
小结：
（1）. 时域分析法是通过求解控制系统在典型输入信号下的时间响应来分析系统的稳定性、快速性和准确性，时域分析具有直观、准确，物理概念清楚的特点，是学习和研究自动控制原理的最基本的方法。
（2）. 时域分析中，常以单位阶跃响应的超调量M 、调节时间t 、稳态误差e 等指标来评价控制系统性能。
（3）. 典型二阶系统的二个特征参数阻尼比ζ和自然振荡频率ω 决定了二阶系统的动态过程。其中ζ值不同时，阻尼情况不同，系统响应形式也不同。实际工作中，最常见的是0<ζ<1的欠阻尼情况，此时，系统的单位阶跃响应为衰减振荡曲线，有超调。ζ大，M 小，系统响应平稳性好。ω 值主要影响系统的调节时间 t 。ω 大，t 小，快速性好。
（4）. 高阶系统常以主导极点的概念进行分析。
（5）. 稳定性是系统正常工作的首要条件。稳定表明了系统自身的恢复能力，仅与自身的结构与参数有关而与外输入和初始条件无关。稳定性的充分必要条件是，系统的闭环极点（特征根）均位于s的右半平面。
（6）. 劳斯判剧是一种代数稳定判剧，应用劳斯判剧的依据是系统的闭环特征方程的系数。
（7）. 稳态误差是衡量系统精度的一个重要指标。稳态误差大小取决于系统的结构的参数以及外作用信号的形式。扰动作用下的误差还取决于扰动作用点的位置。稳态误差的计算一般根据误差信号的拉氏变换式E(s)利用终值定理求解。
（8）. 系统类型与静态误差系数（k 、k 、k ）也是系统控制精度的一种标志，同时是计算稳态误差 的简便方法。系统型别越高，静态误差系数越大，系统的稳态误差越小。可以通过提高系统型别和开环放大系数，引入补偿控制环节，减小系统稳态误差。
（9）. 应用MATLAB工具软件，可得到连续系统的单位阶跃响应,单位冲激响应,零输入响应,及任意输入下的仿真输出等。
要求：
（1）. 牢固掌握一阶系统、二阶系统的数学模型和典型响应特性；能熟练确定一、二阶系统特征参数，牢固掌握一阶系统、典型欠阻尼二阶系统动态性能计算方法及应用限制条件；掌握典型欠阻尼二阶系统特征参量、极点位置与动态性能间的相互关系；了解增加闭环零、极点对动态性能的影响；正确理解主导极点的概念，会估算高阶系统动态性能。
（2）. 正确理解系统稳定性概念及稳定的充要条件；能熟练运用代数稳定判据判定系统的稳定性，并进行有关的分析计算。
（3）. 正确理解有关稳态误差的概念；了解终值定理应用的限制条件；牢固掌握计算稳态误差的一般方法；牢固掌握静态误差系数法及其应用的限制条件。
问答题:
1．一阶、二阶系统的特点是什么？
2．一、二阶系统的特征参量与极点位置、动态性能之间相互关系？
3．稳定性的充要条件及与劳斯判据的关系？
4．输出端误差与输入端误差定义的区别？
5．什么是主导极点法？
第四章 根轨迹法
内容介绍：根轨迹的概念，基本绘制法则，广义根轨迹和重叠根轨迹，利用根轨迹分析系统。
轨迹法是解决由开环零点-得到闭环极点分布情况的图解法。
116
轨迹：是当开环系统中某一个数变化时闭环系统特征方程根在平面上变化的轨迹。可是一旦获得根轨迹
则: ①可直接得到闭环极点。
②得到系统对时间响应的全部信息。
③可间接得到闭环频率响应的信息。
本章的目的：
①画根轨迹。
②从根轨迹上分析系统各种信息。
例：
时，有（临界阻尼）
时，为不同实根（过阻尼）
时，为共轭根（欠阻尼）
时，开环零极点：，（无有限零点）
可见：从时，特征根：为从-2，0开始，经-1（）沿线段
变化，到，此为根轨迹。
第一节 根轨迹方程
设传递函数
116
闭环零点由前向通路零点和反向通路极点决定
闭还极点由开环零点和极点共同决定。
特征方程：（根轨迹方程）
利用幅相条件：G(s)H(s)=-1
可化成为：
116
注意与开环增量k的区别。
第二节根轨迹识别法则（9个法则）
假定变化参数的根轨迹增量
开环零极点分别为
由根轨迹方程
法则1：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。对应起始点，对应终止点。并有n-m个无限开环零点为终点。
法则2：根轨迹有n条分支，具有传递性和对称性。 根轨迹的分支数取决于特征方程（根轨迹方程）的阶次。 由代数知识，系数连续变化，则根轨迹变化。且如代数方程系数为复数，则根一定为零或共轭复根。
可见：在平面上，除在零轴上，就对称于零轴。
法则3：根轨迹有n-m条渐近线，其与零轴交点为:与零轴夹角为：渐近线：（根轨迹有n-m条趋于无穷远处，其方位渐近线决定）根轨迹的极限状况。
例1：设开环零点：开环极点：有n-m=3条渐近线，其与实轴交点：
法则4：实轴上根轨迹：若实轴上任一点，其右侧开环零极点数目之和为奇数，则该点所在区间为根轨迹。设实轴任一点，其右侧开环零点、 极
点引到向量为
可见：奇数倍满足
法则5：分离点的确定：根轨迹的分离量点可由方程决定。 分离角（r条根轨迹分支在某点轨迹）
例2：开环极点：渐近线与实轴交点：夹角：
法则6：根轨迹的起始角、终止角。复数极点上的起始角（出射角）*：
的出射角= +（所有开环零点到形成夹角之和）-（其他极点到形成夹角之和）复数零点处入射角（终止角）
例3：设单位反馈系统的开环传递函数识别根轨迹
解：其中：开环零点：开环极点：渐近线：一条与实轴交点 夹角 实
轴上为根轨迹，且其设有分离点。
由为实数开极点。出射角：
116
法则7：根轨迹与虚轴交点：根轨迹与虚轴的交点可令代入特征方程求得，也可利用Routy 根轨迹与虚轴有交点，说明系统稳定性是有条件的。相交时，说明系统处于临界轨迹。
例4：利用例2传递函数，特征方程令
法则8：闭环极点之和、之积与特征方程系数关系：满足：
书P116 例4-7、4-8
法则9：对应根轨迹上任一点 其参数 的数法可由幅值条件求得： 有：
第三节 控制系统的根轨迹分析
用根轨迹可确定闭环极点和分析系统性能。
一 闭环极点的确定：
例：已知开环传递函数
而系统根轨迹（由上节例4可知）与虚轴相交。
可见：系统是临界稳定的。
求：系统对应临界稳定时的闭环极点及临界开环增量
解：由例4已知
令
代入D（s）后，
有
可见：相交时，闭环极点
设另一闭环极点
由法则8 :
则
且对应的
可见：
116
例：
绘制轨迹
若要求： 求对应的闭环极点
解：n=4，m=0 ， 4条渐近线
开极点
渐近线与实轴交点
夹角
如图示实轴上轨迹
存在分离点：
得：
实轴极点上的出射角：
与虚轴交点：
令代入特征方程或用劳斯判据。
116
可见：
临界时
对应 行系数列方程。
求对应闭环极点。
作线
其与轨迹交于点
对应可由幅值条件求得
另一分支上闭环极点（对应 ）
用试凑方法 可得
二 分析系统性能：
1 从根轨迹与虚轴交点分析稳定性。
2 确定主要极点及其动态性能。
116
上例中
时，闭环极点 :
可见：
并非符合意义 ,主导极点：仍起主导相关作用
（ ， ） 闭环传递函数可近似为：
可见：
利用P126表中化简公式，可把上例视为三阶系统。
三 开环零、极点分布对轨迹的影响：
1 增加开环极点对轨迹影响： 在负实轴上增加开环极点，可使系统根轨迹向右方弯曲偏移，且随与原点贴近而弯曲偏移。 增加开环极点：意味增加了积分作用，可使原系统稳定性能变得严谨。
2 增加开零点对轨迹影响： 在负实轴上增加开环零点，可使系统轨迹向右弯曲偏移，且随零点离原点的远近是弯曲增强。
3 通常作法：
增加一对零极点
通过等值不同，使其对系统产生不同作用。
<1时，零点离原点距离比极点近，开环零点起主要作用。
>1时，极点离原点比零点近，开环极点起主要作用。
时，能给系统增加3对"偶极子"。
116
偶极子：当零极点之间距离比其自身的模小一个数量级时，成为偶极子。偶极子远离原点时，可忽略其影响。但离原点较近时，影响稳态性能的大小。事实上，离原点较近，值的大小使原系统开环量k变化较大。
：
第四节 广义根轨迹
一 参数根轨迹
意义：在负反馈系统中除了根轨迹增量外，系统的其他参数变化时，其轨迹称为参数根轨迹。与此比较，称为参数的根轨迹为常规根轨迹。
1 开环零点变化时的根轨迹
例
(为常数) 讨论变化时的根轨迹
由特征方程 G（s）H(s)=-1 进行交换
使A为参数，P（S）、Q（S）为多项式
令
到
=-1 为 G（s）H(s)等效传递函数。
利用常规根轨迹方法绘制轨迹
有：
可按常规方法绘制Z1参数变化时的轨迹。
2 开环极点变化时的根轨迹
116
（为常数）讨论变化轨迹。
由：
化为：
（B为参数）
其中：P（s）、Q（s）为一多项式等效传递函数。
可按常规方法绘制。
* 这是使用等效传递函数概念，将开环实数零、极点变化时的根轨迹
化为常规轨迹出现。
3 多回路轨迹
绘制a变化轨迹（调速反馈）
解：系统开环传递函数
根轨迹方程满足：
等效传递函数零、极点
116
分离点：
二 零度根轨迹
常规根轨迹，满足
也称为轨迹
零度轨迹：满足
来源：
1 某些具正反馈通路的系统（1-GH=0）
2 非最小相位系统： 非最小相位系统：具有正实部开环零、极点的系统称为非最小相位系统。 最小相位系统：开环零、极点实部均为负时，称系统为最小相位系统。 例1：设系统单位反馈
满足特征方程：
如：
（常规）满足特征方程：
对满足1-GH=0系统 须按零度根轨迹绘制。 相应的法则应修改
法则3：渐近线与实轴夹角
法则4：实轴上轨迹：奇数变为偶数
法则6：出射角
116
入射角
其他法则不变。P137 例4-19、4-20
负反馈系统
由1+GH=0为常规轨迹
由1+GH=0
为零度轨迹
：
第五节 估算（动态性能）
一 主导极点与特征分量关系
1 绘制轨迹后，画分线，其与轨迹的交点即为闭环极点。
2 判定是否为主导极点，确定系统阶次。
3 偶极点的判断 在确定闭环零、极点分布情况下，可利用P126经验估 算公式。
二 例：单位反馈系统
绘制根轨迹，估算时的性能指标
解：画轨迹：
系统满足：
为常规轨迹。
开环零点：
开环极点：
n=3 m=1 渐近线：
116
实轴上:
的右分离点
如图示
作线
其与轨迹交于
另一闭环极点可在上寻找。
=-1。92 为开零点，也为闭环零点（单位反馈）。
则与形成一对偶极子，忽略其影响。
：
第六节 滞后系统的根轨迹
为滞后环节。
轨迹方程：
1。
（取近似）
2。
频率特性：
k=0时为主根轨迹。 对应于k=0，1，2……有无穷多条根轨迹
：
116
小结：
（1）. 根轨迹是当系统开环传递函数的某一参数变化时，闭环极点在s平面上运动的轨迹。以闭环系统开环放大系数K(或K )为参量的根轨迹为常规根轨迹。
（2）. 当系统开环传递函数的零、极点已知时，依据其幅值条件和相角条件可给出系统根轨迹。为简便起见，一般是依据根轨迹的幅值条件和相角条件所导出的几条基本法则，给出根轨迹的大致图形。
（3）. 在给出根轨迹后，利用其幅值条件可求出在某一Kg值时的闭环极点，若闭环零点已知，则可获得系统的动态响应。
（4）. 闭环极点决定系统动态响应的形式，闭环零、极点相互位置决定瞬态分量系数的大小。一对偶板子对动态响应的影响可以忽略不计，而系统的动态响应可由主导极点来决定。
（5）. 增加开环极点，不利于系统的稳定，却改善了系统的稳态性能;增加开环零点提高了系统的稳定性，在工程中，常用附加位置适当的开环零点的方法，来改善系统性能。
要求：
（1）. 掌握根轨迹的定义、根轨迹方程、幅值条件和相角条件。
（2）. 掌握根轨迹的绘制法则，熟练绘制根轨迹。
（3）. 明确等效开环传递函数概念，会绘制参数根轨迹；正确区分并绘制
零度根轨迹。
（4）. 能根据根轨迹定性分析系统性能随参数变化的规律。
问答题:
1．根轨迹法的特点是什么？
2．常规根轨迹与参数根轨迹、零度根轨迹的区别怎样？
3．闭环零极点与系统性能之间具什么关系？
第五章 频率特性法
内容介绍：频率特性，典型环节频率特性，稳定性分析，动态性能和频率
特性之间关系。频率特性法也称频率响应法，是经典理论中三种分析方法之一，
它是利用各种频率特性曲线间接评价系统性能的一种工程图解法。
第一节 频率特性基本概念
对于一个线性定常系统输入为
其稳态输出：
为与输入频率相同的正弦信号。
一 定义：
设系统的传递函数
G(s)
116
设互不同，但均为负。
待定系数。
有：
其中：
116
可见：正弦输入时和稳态输出是同频率正弦信号。
幅值为原来X的倍。
相位差为：
定义：
称为G(s)的频率特性。
为幅频特性。
为相频特性。
二 求频率特性：
的变化范围
例1：
设
例2：
116
例3:
第二节 典型环节的频率特性
1 放大环节：
2 积分环节：
3 惯性环节：
4 振荡环节：
5 一阶微分环节：
6 二阶微分环节：
7 不稳定环节：
8 延迟环节：
例1：绘制其频率特性
116
（低频特性渐近线）
可见：低频渐近线是平行于虚轴的直线（一型系统）。
例2：绘制开环传递函数的频率特性：
高频数
（高频时，频率特性走向）
低频渐近线：
上述例中对应的图称为频率特性图。也称极坐标图（可由幅值、相角绘制），或直角坐标图（用实部、虚部绘制） 又叫幅-相图或奈氏图。频率特性低频走向为型别
高频走向为
设开环传递函数G(s)，若无正实部开环零极点，则称系统是最小相位系统。
以上二例均为最小相位系统。
第三节 对数频率特性及其绘制
前述频率特性的求取中，幅频特性
各环节幅频特性乘积
引入一种简便方法。
对数频率特性：
各环节对数幅频特性的叠加。 表示不变。
建立单对数坐标系：
横轴：取 以10为底的对数分度。
纵轴：线性分度。
分别称为：对数幅频特性图 对数相频特性
统称：对数频率特性图
可见：由于取增大10倍，对应横轴上增加一单位长度，称10倍频程，几何长度一致。
1 放大环节 G(s)=k
2 积分环节 每增加10倍频程 则 分数
3 惯性环节
4 一阶微分环节
5 振荡环节
6 开环对数频率特性图 对应于开环传递函数的对数频率特性。 为开环对数频率特性，其故可称为Bd图，一般情况下，对Bd图的绘制只需画出对数幅频渐近线和相频特性曲线即可。
步骤：
1 先将G(s)改写为典型环节。
2 找出各环节转折频率，并比较大小。
3 在各转折频率间用适当斜率直线构成对数幅频渐近线。
4 若必要，可适当修正。
5 将各相频特性相加，形成相频特性。
例1：
116
也可直接画出渐近线：
低频数：
中频数：
高频数：
例2：
低频数：
渐近线由 和 决定。
在 处，
斜率为
高频数：为惯性环节转折频率。渐近线频率增加
例3：
绘制传递函数对数幅频渐近线
§5-4 奈氏判据
一、幅角原理
引入辅助函数
Pj为闭环特征方程 1+GH=0根。（闭环极点）
Zi为G(s)H(s)对应的极点。（开环极点）
1、F(s)的零点为闭环极点，极点为开环极点。
2、F(s)与G(s)H(s)差别。 F(s)=1+G(s)H(s)与G(s)H(s)差1。
幅角原理：在S平面上任选一个复数s，通过复变函数F(s)可在F平面上找到相应的象。若F(s)的零、级分布已知，在S平面上任意选定一封闭曲线rs，且rs 不通过F(s)零、极点，则rs映射到F平面上也是 一封闭曲线rF。 当s点按rs顺时针绕一周时，则rF对应的点按逆时针绕原点的周数 R=P-2。其中P是rs封闭曲线内包含的F(s)的极点数目，Z是rs内包含的 F(s)的零点数目（R=开环极点数-闭环极点数）
R〉0 表示逆时针旋转
R=0 不转
R〈0 表示顺时针旋转周数
二、稳定性分析及奈氏判据
1、将rs取为如图示无穷大圆
116
rs包围了整个右半平面（顺时针），则F(s)=1+GH也形成封闭曲线，逆时针包围(0,0j)
点R=P-2周。P:落在右半平面开极点数目； Z：落在右半平面闭环极点数目。
2、判据：s沿右半平面无穷大圆顺时针绕一周时，则稳定〈==〉F(s)形成封闭 曲线逆时针绕圆点R=P（Z=0） Z=0：右半平面无闭极点 R=P：P表示：落在右半平面开 极点数目 换言：s沿右半平面无穷大圆
顺时针绕一周时则稳定〈==〉G(s)H(s)形成封闭曲线逆时针绕（-1，0j） R=P周： P：正实部开级数目考查G(s)H(s)形成封闭曲线。
3、G(s)H(s)与G(jω)H(jω)关系
① 零型系统
r
rs取法如图示三部分
-φ：s从正无穷到负无穷顺时针变化180o。
为频率特 性。 可见：一般G(s)H(s)曲线可得到。
②非零型系统 r≠0 rs取法如图示：（剔除原点）
四部分组成
Q:ω=0-逆时针转到ω=0+变化180o
-φ：s从+∞顺时针到-∞变化180o
116
ω=0-至ω=0+顺时针变化r*Q度=r*180o
可见：可构成 G(s)H(s)封闭曲线。
例1、开环频率特性G(jω)如图示
设P=0，G（-jω）如图示虚线
为一固定点（0，0j） 因为封闭曲线并未包围-1,所以 R=0=P 系统稳定.
GH（s）包围了-1，R=2周，P=0，Q≠P，不稳定。
例2、开环频率特性如图示：
r=2型 r=1 r=2
构造从ω=0-至ω=0+顺时针角度为2*180o圆弧，形成封闭曲线。
可见：R=0 〈非零型系统：从ω=0-顺时针ω=0+到补画180o 弧成封闭曲线。〉
闭环系统稳定充要条件： 开环频率特性（0≤ω〈∞
116
〉逆时针绕（-1，0j）的次数为R=P/2，其中P是
具正实 部开极点数目。 最小相位系统 P=0。 〈或：从ω=0+ 逆时针补画180o*r/2圆弧形成半封闭
曲线。〉
三、临界稳定性
设P=0，可知G(jω)H(jω)包围（-1，0j）点与否决定了系统稳定性。R=0说明稳定；R≠0说明不稳定。 G(jω)H(jω)与（-1，0j）相交对应于临界稳定。
四、N氏图对数频率特性（Bd图）关 系 ∣
∣G(jω)∣=1 （单位圆上） 20lg∣G(jω)∣=0 （零分贝线）
∣G(jω)∣>1 （圆外） 20lg∣G(jω)∣>1 （零分贝线上）
∣G(jω)∣<1 （圆内） 20 lg∣G(jω)∣<0 （零分贝线下）
负实轴对应于-180o线。
1、对N氏图：（-∞，-1）区域为单位圆外区域，且-180o。
"穿越"特性曲线与负实轴上（-∞，-1）相交为穿越。
相交时相位增加称为正穿越；相位减小称为负穿越。
穿越次数：N=N+ - N- (正穿越（-∞，-1）次数-负穿越次数
结论：（N氏图）稳定〈==〉频率特性正、负穿越（-∞，-1）之差为P/2。
2、对Bd图：正、负穿越（-∞，-1）对应于Bd图零分贝线上频率范围内，相频特性穿越-180o次数。 〈Bd图穿越对应于N氏图上对-1点包围〉 结论：（Bd图）稳定〈==〉在Bd图上零分贝线上频率
范围（ωc）内，相频特性正 负穿越-180o线的差为P/2(N=P/2)
0<ω<ωc范围内，N-=1,N+=1,N=N+ - N-=0
例：设系统开环传递函数
T1,T2为时间常数。
要求：讨论K值变化对稳定性影响。
解：用频率特性方法
116
开环频率特性：
P=0 令Im G(jω)H(jω)=0 ，
令Re=-1，将ωr代入
有：0< K0时，在0分贝线下，系统稳定。
二、相位裕度：γ
在系统的剪切频率ωc上，使闭环系统达到临界稳定（达到-180°），相频特性所需附加的相移量
116
γ=φ（ωt）-(-180°) =180°+φ（ωc）
φ(ωc)=∠G(jωc)H(jωc)
γ>0时：需附加正相位（临界稳定）
γ<0时：需附加负相位
Bd图中：ωc对应的（-180°）线对应的角度为γ。
-180°线之下γ>0 ；-180°线之下γ<0。 可见：kg（或Kg）取得，只需寻找对应的分贝值。 零分贝线之下，说明(kg>1或)Kg>0. γ的取得可以从
ωc对应的-180°线上的角度确定。 -180°线之上，γ>0（-180°之下，γ<0）
总之：利用Kg及γ可确定系统的相对稳定性。Kg,γ同号时，可确定绝对稳定性（P=0）； Kg,γ异号时，系统为非最小相位系统（P≠0），用Kg,γ难以确定稳定性。 一般讲：Kg,γ均大，则说明稳定程度高，否则，稳定程度低。
见P183 例5-18
例19、单位反馈系统
分别确定k=10，k=100时Kg,γ。
解：P=0 Bd图：
转折频率1，5。 k=10时， Kg=8 γ=21°
系统稳定； k=100时，Kg=-12 γ=-30° 闭环系统成为不稳定系统。
116
注 ：为使稳定程度更好,可增加γ到30°～60°，且也可减小k，使性能更满意，但注意k减小同时意味ess的 变大。只有通过增加校正环节，做到即使γ变大，且使保持不变活变大，将在第六章讨论。：
§5-6 闭环频率特
令s=jω
一、单位反馈系统的闭环频率特性
取不同ω,有不同的闭环幅频特性φ-θ闭环相频特性可绘制图。
1、工程上常用查表法（等M图法与等N图法）
等M图： 设G(jω)=u+jγ
幅值：
G(jω)为开环频率特性。
G(jω)如图示：
在ω=ω1处
可见：
图解法：
ω
ω1
ω2 …… ωm
φ-θ
116
M≠1时化为：
圆心：
半径：
M不同的是一族等M的圆。
等M圆特点： ①等M圆对称于-1/2线
②M<1时，等M远在-1/2线之右(M减小，半径减小，圆心向（0，0j）靠近)；
M>1时，等M圆在-1/2线之左(M增大，半径减小，圆心向（0，0j）靠近)；
M=1时为u=-1/2线。
等N圆：
相角：
N取不同值时，对应一系列的员，称等N圆。
等N圆特点: ①u=v=0时，满足方程，说明所有圆均过原点（0，0）
116
②u=-1，v=0时，满足方程
③每个等N圆，α及β=α±180°对应同一个圆 同比例绘入开环频率特性G（jω），
可在等M，等N圆上得到对应不同ω的交点。
ω
ω1
ω2
ωr
M
Mr
α
2、尼柯尔斯图（以φ为横坐标，L(ω)为纵坐标）
将等M圆和等N圆转换成对数幅值和相角坐标图上，形成尼柯尔斯图. P187图 5-59
绘入对数幅-相图，对应有：
ω
ω1
ω2
M(db)
α（ω）
116
有：
详见P189 例21
二、非单位反馈系统的闭环频率特性
等效：
1、先求
（单位反馈系统频率特性）
2、由1+（jω）=|H（jω）|∠H（jω）
在已知M（ω），α（ω）前提下，可得到|GB（jω）|，∠GB（jω）。
：
116
§5-7 系统频域分析
一、频域指标：
1、空频值：M（0）或A（0）
频率为0时，闭环频率特性的幅频值，空频值M（0）与系统型别的关系。
2、系统带宽频率ωb
闭环频率特性的分贝值，从空频值下降3分贝所对应的频率。
也可定义为0.707M（0）处的为带宽频率,合称带宽。
带宽是系统闭环幅值出现快速衰减的标志。
对频率交于ωb的输入衰减很大，只允许频率低于ωb输入很好通过。
带宽大的系统一方面重现输入信号能力强，一方面抑制高频噪声能力弱。
一阶系统的带宽:
二阶系统带宽:
系统带宽ωb与调节时间成反比，与自然频律ωn成正比。
3、剪切频率 ωc （穿越频率）
设二阶系统：
令
ωc正比于ωn
116
当ξ=0.4时，ωb=1.6ωc
ξ=0.7时，ωb=1.55ωc
4、谐振峰值Mr与谐振频率ωr与时域指标关系
谐振峰值：指闭环幅频特性的最大值。
二阶系统：
由：
（ξ≤0.707）
有：
建议：Mr在1.2～1.5时,δ%=20～30%,一般Mr大，则δ%大相对稳定性差。
ωr与tp,ts成反比 ωr大则响应快 .
二、相位裕度γ与时域指标关系
二阶：
由|G（jω）|=1
116
由γ定义
有了γ与ξ之一一对应的关系，近似ξ=0.01γ，且ξ～δ%有一一对应的关系。
多阶：
估算公式：
且
（35°≤γ≤90°）
三、由闭环幅频特性曲线估算时域指标
其中：
本章注意事项。
116
小结：
（1）. 频率特性是线性定常系统在正弦函数作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系。它反映了系统动态过程的性能。频率特性是传递函数一种特殊形式，将系统传递函数中的s换成纯虚数jω,就得该系统的频率特性。 频率特性可以通过实验方法确定，这在难以写出系统数学模型时更为有用。
（2）. 开环频率特性可以写成因式形式。这些因式就是典型环节的频率特性，所以典型环节的频率特性是系统开环频率特性的基础。 常用的奈奎斯特图和伯德图，在本质上是一回事。它们描述的都是系统的开环特性，但由于采用的坐标系不同，使得奈奎斯特图便于对系统进行理论分析，而伯德图则便于工程实际应用。 由于对数运算可以将幅值的乘除运算化为加减运算，并可用简单的渐近线近似地绘出对数幅频特性，因而伯德图应用最广。对系统开环频率特性，主要讨论了s平面虚轴右侧无极点的系统，且又以最小相位系统为重点。
对最小相位系统，如果绘出了幅频特性，其相频特性就唯一确定。
（3）. 开环频率特性和闭环频率特性都是表征闭环系统控制性能的有力工具。对于二阶系统，开环频率指标、闭环频率指标与时域指标之间有确定的关系。对于高价系统，由于频率特性的各种复杂情况，用一、两个频率指标难以真实地表征系统性能，因此频率特性是近似的。
（4）. 奈氏判剧是基于频率特性法的稳定性法的稳定判剧。它是通过系统的开环Niquist曲线，判定闭环稳定的方法。
（5）. 相对稳定性表明系统的稳定程度，通过判断相角欲度，Kg幅值欲度来判定系统的稳定程度。
（6）. 利用MATLAB工具软件，可以方便的进行系统的稳定性分析，是我们主张采用的方法。MATLAB工具软件提供了bode、nyquist等函数来绘制系统的Bode图、Nyquist图。还具有分析系统的幅值裕度、相位裕度等功能。
要求：
（1）. 正确理解频率特性的概念，熟悉典型环节的频率特性，熟练掌握绘制开环幅相特性和开环对数对数频率特性的方法。
（2）. 牢固掌握奈奎斯特稳定判据、对数稳定判据及其在系统分析中的应用。
（3）. 正确理解稳定裕度的概念，掌握计算稳定裕度的方法。
（4）. 掌握开环对数频率特性与系统性能之间的关系，正确理解三频段的
概念。
（5）. 明确闭环频率特性的特征量与时域性能之间的关系。
问答题:
1． 典型环节频率特性及开环频率特性的定义、区别？
2． 开环频率特性图可分为几种？
3． 伯德图与系统性能之间的关系如何？
4． 相对稳定性与绝对稳定性关系？
第六章 线性系统的校正方法
内容介绍：概念、基本控制规律、频域校正方法、根轨迹校正法。
第一节 引言
前面几章对已知结构和参数的系统通过所建立的数学模型，可利用时域响应、根轨迹及频域响应等方法，进行动态和静态分析。
本章讨论系统的设计和综合问题（校正）。就是根据系统性能指标确定系统的结构和系统匹配。
系统的性能指标包括稳态指标和动态指标：
116
稳态指标主要包括稳态精度，用等误差系数表征。
动态指标：可用时域指标表示或用频域指标表示。时域指标通常用阶次响应的特征量如等表示。频域指标通常用表示。
（开环）闭环频域指标用（相对谐振峰值）等表示。
校正：在初步设计的系统中，加入一些机构和装置（参数可调），使系统的整个特性发生变化，从而满足系统的各项指标。
一 校正方式可分为：串联校正、反馈校正、复合校正。
串联校正：将校正装置串联在系统前向通路中的校正方式。
反馈校正：将校正装置放在局部反馈通路中的校正方式。
复合校正：既有串联、又有反馈校正的方式。
校正方式的选取根据信号的性质，技术实现的方便性。
可供选取的元件：经济性条件及设计者的经验而定。
一般，直流控制系统中多采用串联校正。交流控制系统中
多采用反馈校
正。校正方案具非统一性。
二 线性系统校正方案有二类：根轨迹校正法
频域校正法
（希望特性法）
主要介绍频域校正法。
根轨迹校正法：通过引入校正环节，增加开环零极点改变轨迹的走向，使闭环极点得到重新确定，从而改变原有系统的性能。
频域校正法：通过引入校正环节，改变频率特性曲线形状，使系统校正后频率特性在低频段、中频段、高频段的特性符合要求。
使低频段增量尽可能大，满足稳态精度要求。（）。
中频段对数幅频渐近线斜率为，并且较大，使适当（响应速度）。
高频段：迅速衰减，减少噪声影响（抗扰性能）。
希望特性法：先将希（望的性能化为希望的开环幅频特性称为希望特性），根据希望的特性与原有特性（未校正系统）对数幅频之差确定校正装置的方法（利用渐近线）。
并由：，有：
三 校正装置：
一般由P、I、D控制器或电网络组成。
1 由P、I、D控制器（串联前向通路中）
①比例P控制
将比例控制作为校正装置串在前向通路中
其作用：使开环增益提高，稳态误差减小，且使原系统对数幅频特性高度上升。相位裕度减小，降低相对稳定性可见：单独引入比例控制不能使系统性能全面提高。
②积分I控制
116
可调
引入积分控制相当引入一积分环节，型别提高，从而可消除或减小稳态误差，提高稳态性能。但积分控制器致系统相对稳定性较差，
甚至不稳定。通常采用比例+积分控制（PI）。
③比例+积分控制（PI）
串联前向通路中，低频段下降 ，亦型别提高，稳态性能得到改善，对相位裕度有影响，但不大，可认为不相对稳定性影响不大，动态性能基本不变。
④比例+微分控制（PD）
串联在前向通路中，使系统的相位超前，相对稳定性变好（变大）幅频特性中，高频段增益加大，使增大，导致变大，响应速度快。
⑤比例加积分家微分控制（PID）
均为可调参数。
设
（低频数PI起作用）
低频数：PI作用，使稳态性能改善
高频数：PD作用，使增加，快速性加强
2 用RC网络
116
其中：
相频特性总为正相位，称网络超前网络。
串在前向通路中
使系统的开环增益减小，为 ，产生衰减
串联一增量为放大器
Bd图为：
时（高频时）
令：
有：
亦在处网络发生最大超前角
116
为转折频率几何中心
代入
有或
一般：可由确定，常取
超前校正：可利用其超前角作用，使加大，改善动态性能。
②滞后网络
相位呈负相位特性，称滞后网络。且在高频幅值衰减明显为
。
滞后校正：利用高频衰减作用使静态性能改善。
③滞后-超前网络
116
其中 可通过选系数，使
为二不同负实根。
为滞后-超前网络
转折频率：
滞后-超前校正：利用超前，滞后校正的优点，使系统动、静态
性能均改善。
第二节 频域校正方法
利用Bd图校正时，多采用相角裕度较方便，用奈氏图校正时，采用和
比较方便。
校正思路：利用频域校正，是希望通过校正使系统变成或接近希望特性，即使低频段尽可能大，以满足稳态精度中频段对数幅频特性斜率为，并且具较大带宽，以具备适当的，高频段迅速衰减以减少噪声影响。
一 串联超前校正：
原理：利用超前网络的相位超前作用（正相位）使校正后系统的剪切频率和相位裕度满足要求，从而改善动态性能,稳态性能则通过选择已校
正系统的开环增益保证。
作法：将超前网络的转折频率选在待校正系统剪切频率两边，使最大超前角发生在附近。
例：控制系统如图示
单位斜坡作用下,,
考查校正
一型单位斜坡作用下：
由
116
有
取
作Bd图 转折频率为1 确定
在处，幅值
希望加入网络，使，为穿越频率，并将提高+6db
可令，有d=4
由
串入前向通路：
作Bd图：有
检验不满足时，需增大，重新设计。
另一确定方法：
从未校正系统Bd图
令
要求
为需由校正网络产生相位
由
计算的值确定，在Bd图上寻找对应时的
计算
116
检验不满足时，可改变的余量，重新设计。
超前校正一般步骤：
1 由稳态误差要求确定开环增益k
2 对应k，画Bd图，计算性能指标
3 由要求，计算值，可取或稍大，或由要求，
计算及值
4 写出
5 检验（画Bd图）
6 不满足时，可增大或的余量，重新设计
注意：超前串联校正不能用与不稳定系统以及附近相位迅速衰减系统。
二 串联滞后校正：
原理：利用滞后校正网络的高频衰减特性，使剪切频率下降，从而使相位裕度足够大。主要用于响应速度要求不变，而消除噪声要求较高的场合，
以及其满意动态性能而稳态性能不佳场合。
具体作法：将网络的转折频率的几何中心点，避免选在系统
的剪切频率附近。（可取）
例：
要求
解:
有
不稳定
由要求
找出对应相位
116
以其对应的作为校正后的
对应分贝值
令
作Bd图检验：
滞后网络校正步骤：
1 由稳定要求确定K
2 作未校正系统Bd图
3 由要求，寻找对应，并由，求
4
5
6 检验
注意：未校正系统具满意动态性能，稳态性能不满足时，优先采用滞后网络。
三 串联滞后-超前校正
利用上例
要求：
可见：经滞后校正
并不能满足
再考查加入一个超前校正（取：）
由，可有对应
令：
116
有
经检验：
步骤： 1 先综合滞后网络参数
2 令
3 综合超前网络
四 反馈校正
系统开环传递函数：
可见：1
2
校正作用不大
五 介绍希望特性法（另节）
：
116
第三节 根轨迹法校正
关键：适当选取一对零-极点构成校正网络。
校正思路：对高阶系统具有一对主导极点。主导极点的位置对动态性能起 主要作用。可将系统的性能要求转化为希望主导极点位置要求，通过校正装置的选取使校正后的系统根轨迹通过希望的主导极点以达到校正的目的。
考查二阶系统的性能和闭环极点位置的关系。
闭环极点：
由于
到原点距离为
有：
可见由性能确定希望主导极点时，经校正后得到的并不一定是实际主导极点，校正后的系统性能可能有偏差，应注意确定希望主导极点时留余量。
一 串联超前校正
原理：对原系统具不理想动态性能且开环极点均为实数的系统，或为给定增益k不稳定（或稳定），但其暂态性能不满足要求时，可考虑采用串联超前校正。
具体做法：串联超前网络的选取是使超前网络的零点选在原系统离原点最近的实数极点附近，或正好补偿（原点处极点除外）
设计步骤：1 画出未校正系统的轨迹。
2 确定希望主导极点。
3 计算需由超前网络产生的相位
（为希望主导极点）
4 经验选
5 写出
6 检验，不满足时，重新确定一组
例1 ：设开环传递函数
116
要求校正，使
解 ：1. 绘制轨迹如图示：
2. 由
希望主导极点：
3. 由
可见：希望由超前角度
4. 取且由，有
5.
在处增益=30.4
6. 检验，画根轨迹
可见：在轨迹附近。
注意：未校正系统具有距虚轴较近、开环复数极点时，或系统开环极点虽均为实数，但过分接近原点，以及系统具右半平面开环极点时，均不宜采用串联超前校正。
利用超前校正，其最大超前角一般取
* 为保证的串入稳态性能不受影响，
则
116
可同时串入放大器
二 串联滞后校正：
原理：可以基本不改变系统稳定性前提下，提高开环增益，同时基本保证已令人满意的动态性能。
作法：为避免网络引入给系统性能带来大影响，对校正装置零-极点的设置十分接近，又要离原点不太远.
设：
串入系统传递函数：
为开环增益增大倍
步骤：1.画出未校正系统轨迹
2.由给定性能指标，确定希望主导极点（动态性能满足时，希望主导极点在轨迹上或附近）
3.计算主导极点处增益或需增大的倍数
4.计算网络的值，且留余量
5.计算，构成网络，
6. 检验，不满足时，改变余量，重新设计
例2：设开环传递函数
要求：经校正
解：1.画出轨迹
2.
116
有
可见：在轨迹上或附近，满足动态性能
3.但在处的 现要求
4.令
留余量，取
5.确定校正网络的零-极点
从引入与线夹角小于10度线，与实轴交点为
6. 检验不满足时，可取稍大，或余量更大，重新设计
注意：滞后校正系统可能具有的最小调节时间
表示负实轴上最大分离点
只有时，采用滞后网络更有效
三 串联滞后-超前校正网络
具体步骤：1.确定超前部分参数
2.由求出
3.确定滞后部分参数
116
4.写出
5.检验
例3：单位反馈系统传递函数
解：希望主导极点：
按例１，先确定超前网络
超前角
取，得
在处，
取希望的
留余量则
过作与线夹角小于线，与实轴交于
利用组成网络串入系统中
补充：希望特性法校正
设希望的开环传递函数，未校正系统的传递函数
116
串联校正装置的传递函数
则
其对应对数幅频特性：
可见：给出希望特性和原有特性之后，可得到校
正装置的特性
关键：根据性能要求，确定希望特性
一 常用希望特性的种类
1. 二阶希望特性
设校正后系统为典型二阶系统
可由性能要求，确定二阶系统的参数
工程中常以左右的二阶特性为最佳二阶希望特性
2. 三阶希望特性
设三阶系统传递函数：
设，幅频宽度h一定时，
谐振峰值与h有如下关系：
或
相位裕度与h间关系：
116
或
系统的时域指标与h间关系：
或
与间关系：
之间对应关系：
3.一般高阶希望特性：
低频段：先由系统的型别确定低频段斜率，再由稳态误差系数确定低频段宽度 中频段：为保证稳定性和动态性能，中频段斜率取为-20，其位置取决于和调节时间有关的穿越频率。中频段的宽度由相邻转折频率和决定。而且与 有关
高频段：渐近线高频段是由系统的小时间常数决定的，一般高频段衰减快，可提高系统的抗干扰能力，但为设计方便，希望特性取为原系统高频段特性
二 希望特性法步骤：（串联校正）
1.按系统的稳态性能要求，绘制未校正系统对数幅频特性
2.根据稳定的性能要求绘制希望特性
3.由可得串联校正装置的希望特性
4.确定校正装置形式和参数
例：已知未校正系统的开环传递函数：
要求：经校正，使
解：用希望特性法
绘制未校正系统的对数幅频特性（满足）
低频段：
希望中频段：
116
取
取 h=10
中频段频率
画出-20频率过直线为中频段希望特性
从画 -40斜率直线
画-40斜率直线与原特性形成交点
构成希望特性
转折频率 ：
校正装置传递函数，可由得到
用RC网络可去实现校正
第四节 校正方法的归纳
1 性能以给出时，用根轨迹方便。
2 性能以给出时，用频域法较方便。
3 超前校正多用以解决改善动态性能指标（利用超前滞后校正多用以解决 改善角作用），稳态性能（利用高频衰减特性）同时要求改善动、稳态性能时，考虑采用滞后-超前校正网络。
4 反馈校正可以化为串联校正问题处理。
小结：
（1）. 为了使控制系统满足给定的性能指标，工程上常常在系统上加入适当的附加装置来校正系统的性能，这些附加装置称为校正装置。对控制系统校正，就是指按给定的性能指标和系统固有部分的特性，设计校正装置。
（2）. 根据校正装置在控制系统中的联接方式划分，有引入输入补偿校正和引入扰动补偿校正；串联校正；反馈校正。
116
（3）. 在反馈主回路内部引入串联校正、反馈校正，保证系统的稳定性和动态性能，在反馈回路之外引入输入补偿校正、干扰补偿校正，减小系统的稳态误差、跟随准确性，可以较好地解决系统的稳定性与稳态精度的矛盾、抗干扰与跟踪的矛盾，达到高精度控制。这种开式与闭式的组合校正方式又称为复合校正。
（4）. 在系统的前向通道串联校正装置，一般多采用有源校正网络，可以改善系统的稳定性和动态性能。串联校正有超前校正、滞后校正和滞后-超前校正三种方式。
1.串联超前校正是利用校正装置的相位超前补偿原系统的相位滞后，以增大校正后系统的相角裕度和截止频率，使系统的平稳性和快速性得到提高。
2.串联滞后校正是利用校正装置的高频幅值衰减特性，使系统的截止频率减小，提高系统的相角稳定裕度。或者，通过提高系统的低频幅值，以减小系统的稳态误差，并保持原系统动态性能不变。
3.串联滞后-超前校正是利用校正装置的超前部分来改善系统的动态性能，同时利用其滞后部分提高系统的稳态精度。
由于期望特性法是按对数幅频特性的形状确定系统性能的，故只适用于最小相位系统。
（5） .反馈校正的作用是：可以扩展系统的频带，加快响应速度；可以减弱被包围的部分环节由于参数变化、非线性特性以及各种干扰对系统性能的不利影响；可以取代不希望部分的结构特性。常用的反馈校正形式有：比例反馈；速度（微分）反馈;加速度反馈。
1.比例（或位置）反馈（K）：可以减小被包围环节的时间常数，起到扩展频带，提高响应快速性的作用。
2.速度（或微分）反馈（Ks)：可以在不改变被包围环节性质的条件下，增大其时间常数；也可以用来提高被包围环节的阻尼系数，改善系统的动态平稳性。
3.加速度反馈（ ）：可以等效取代原系统的中频段特性，提高系统的快速性、增强平稳性、改善系统的动态响应。
要求：
（1）. 正确理解系统设计与校正的基本 概念，熟悉超前、滞后网络的特点。
（2）. 理解串联（超前、滞后、滞后-超前）校正设计的原理，熟练掌握串
联校正的步骤和方法。
（3）. 明确反馈校正和复合校正的作用，掌握运用反馈校正和复合校正提
高系统性能的方法。
问答题:
1．串联（超前、滞后、滞后-超前）校正设计的原理是什么？
2 .串联校正的步骤？
3. 校正与系统性能之间的关系如何？
第七章 非线性的系统
第一节
1．线性系统与非线性系统区别：
2．非线性特性（典型）
116
=
：
第二节 相平面及相平面的概念
116
将m人为移到等位量x0
松手后m的运动过程：
时刻t 位移x 速度
t0 x0 0
t1 0 负最大
t2 x2 0
t3 0 正最大
考查位置x和速度构成的平面（x－平面）
初始点一定时：形成曲线称为相轨迹
可得：不同初始点，相轨迹kkkk一定将布满平面
利用x－平面分析系统的方称为相平面法，
相平面法只适用于，一.二阶系统。
：
116
第三节 相轨迹的绘制
工程上有二种方法：
只介绍图解法中等倾线法
等倾线法：设二阶系统
可得：
一 . 以x－为平面，为相平面上的斜率，
可令 则
为的方程称为等距线
具体绘制步骤：
1．令 则为方程，对一定的，可在x－平面上画出相应的曲线此为等倾线。此曲线的特点是：当相轨迹通过该曲线时，其斜率相同。
2．取不同值，可在相平面上绘出不同曲线（等距线）。
3．有初值可得到相轨迹上的一个初始点。
4．该点出发，按该点所在等倾线斜率所指方向划一小线数，直到与其相邻另外等倾线相交。
5．其与第二条等倾线交于一点，在从该点出发重复步骤4，得到曲线为相轨迹
例：
116
例2：如图示系统（特性）
考查
解：
区域由分界，称为开关线。
利用 中相轨迹为斜率-1的直线簇
116
：
第四节 奇点及极限环
奇点概念：相轨迹上满足不定式的特殊点，称为奇点。
在奇点处有多条相轨迹穿过或趋于该奇点，相当于系统处于平衡状态
一．奇点分类：(线性系统)
有奇点：（0，0） （原点为奇点）
1．（无限 ） （一对虚根）
为一簇封闭曲线包围奇点（0，0）称为奇点为中心点。
116
2．（一对负实部共轭根）
相轨迹为一簇螺线，包围奇点（0，0）称为稳定焦点
3．（一对负实根）
为一簇抛物线包围奇点（0，0）称为稳定节点
4．
对应奇点（0，0）为不稳定焦点
5．
116
奇点（0，0）为不稳定节点
6．有异号实根，称奇点（0，0）为鞍点。
可得：方程特征根任意决定奇点的类型。
如奇点构成曲线称为奇线，极限环就是常见奇线。
二．极限环
非线性系统的相轨迹有时出现一种特别情况，即相轨迹上出
现孤立的封闭曲线，称这种特殊相轨迹为极限环。
极限环的几种情况：
116
无论初值落在环内外，相轨迹的运动朝环逼近，称为稳定极限环
不稳定极限环为非线性系统的一种特殊现象
称为自激振荡
称为半稳定极限
三．一般奇点确定
对一般系统：
设：
116
令
考查其奇点类型
例：
（0，0）为稳定焦点
116
：
第五节 相平面分析
例1：继电型系统
116
可见相迹为直线
例2：引入测速反馈：
116
开关线发生偏移，角度与反馈系数 有关，事实上进入切换时间提
前，动态响应加快。
例3：继电特性
116
：
第六节 描述函数概念
描述函数法和相平面法一样也是函数上常用方法
描述函数法也称谐波近似法
一．先介绍描述函数的概念
考察图示系统：
116
非线性环节输入为正弦信号时
其输出为周期函数
将周期函数y（t）变成付氏函数：
y（t）=A0+（A1Cosωt+A2Cos2ωt+ A3Cos3ωt+…）+（B1Sinωt+ B2
Sin2ωt+…+BKSinkωt+……）
=A0++
若非线性特性是奇对称：（y(x)=-y(-x)）
则 A0=0 （一般非线性特性均为奇对称）
y(t)=+
（忽略二次以上波）
其中 Y1=
可得：经近似非线性环节稳定输出为同频率正弦信号
类似： 特性意义描述函数：
116
二．典型非线性环节描述函数
1．死区特性：
116
2.饱合特性：
3.滞环特性：
4.
第七节 描述函数分析非线性系统
特征方程：
116
一．自激振荡
116
二．确定自振振幅 --ω的方法。
分别令其实部，虚部相等，可得交点值。
例：
确定消除自振的k值：
得：线性采样特性：
116
：
小结：
控制系统有线性和非线性之分。严格地说，实际上并不存在理想的线性系 统。本章阐述了非线性系统的基本理论，介绍了常用的分析方法。
（1）. 非线性系统的数学模型是非线性微分方程，采用方框图从输入输出 关系给出系统的数学模型比较方便实用。
（2）. 非线性系统的运动形式的特点是存在自激振荡，自振是一种稳定的 周期运动，激烈的自振对系统的破坏作用很大，但如果频率很低系统是完全可用的。
（3）. 非线性系统的稳定性不仅与系统结构有关还与初始状态有关，非线 性系统的稳定性不能笼统地讲稳定与否，而必须指明多大范围的稳定性。
（4）. 相平面法可以精确地分析非线性系统，但系统的阶次仅限于二阶或 低于二阶。
（5）. 非线性系统对正弦信号的输入不是单纯的正弦信号还具有高次谐波 分量。描述函数法是近似的分析方法，在解决实际问题上，不需要求得精确解。描述函数法的要点是用一次谐波分量代替输出，必须注意两个条件：
① 非线性特性输出种的高次谐波振幅较小；
② 线性部分具有低通滤波性。
要求：
（1）. 认识非线性系统与线性系统的区别、特点。
（2）. 掌握描述函数法和相平面法的特点和应用范围。
（3）. 明确描述函数的定义及有关概念，熟悉典型非线性特性的描述函数 和负倒幅特性；掌握用描述函数法分析非线性系统的稳定性和分析自振、计算自振参数的方法。
（4）. 了解相平面的有关概念，掌握用相平面法分析非线性系统的步骤。
问答题
1． 典型非线性环节的特点？
2． 描述函数法和相平面法的适用范围？
3． 相平面法的相轨迹与系统响应之间的关系？
4． 自激振荡的是一种什么特性？
第八章 采样控制系统理论
内容介绍 采样的概念 采样与保持 Z变换 脉冲传递函数Z域分析
第一节 采样系统的概念
前面七章系统介绍了连续时间控制的分析与设计。其特点是：在连续的系统中，各种信号都是连续的时间函数。称这种时间上的连续，幅值上也是连续的信号为模拟信号。
116
但随着脉冲技术，尤其是计算技术的发展，采样与数字控制系统得到了广泛应用。在采样系统中一处或数处的信号不是连续模拟信号，而是在时间上的一系列脉冲。这种脉冲系列常量是按一条时间间隔对连续的模拟信号采样而得到的，称为采样信号。由于其在时间上是离散的，也称离散信号。
采样系统如图示：
e（t）：连续的误差信号，经采样开关成为一组脉动序列e*(a)
采样开关：经一定的T重复闭合，且闭合时的时间ε很小。T：采样周期。
采样频率：fs=1/T
采样角频率：WS=2πfs=2π/T
采样周期T原则上可不同，但一般用等时间间隔采样，亦T为常数。
数字控制系统：
计算机参与控制，构成数字控制系统。
由于计算机只能处理离散信号。引入模数A/D，数模D/A转换装置。
A/D的作用为采样开关。
D/A的作用为保持器。
可见：研究采样控制系统十分必要。
：
第二节 采样过程及采样定理
一、采样过程：
按一定时间间隔对一连续信号进行采样，将其转化为相应脉冲序列的过程，
称为采样过程。
实现采样过程的装置称为采样器或采样开关。
采样开关相当于一个系统脉冲发生器。
116
<====>
采样开关 T 单位脉冲序列
e*(t) 可表示为e(t) 经单位脉冲发生器调制而成。
二、采样定理
考察及的L变换。
116
如图示：
116
可见：从重叠频谱，并不能得到原连续频谱的真实信息。
香农(Shannon)定理：只有大于等于2 max条件下，采样后的离散信号才能无失真的复现原连续信号信息。
：
第三节 采样保持器
实现采样控制中另一个重要问题是如何将离散信号恢复到连续信号，并作用于被控对象，实现恢复的装置称为保持器。
保持器是一种时域外推装置，即由向过去和现在采样值外推，通常将具有幅值，线性及抛物线外推规律的保持器，分别称为零阶、一阶、二阶保持器。
常用零阶保持器，；零阶保持器是一种按恒值规律外推的保持器，将前一时刻采样值，保持到下一采样时刻。
在nT邻域内，将e(t)写成泰勒级数
？？？？？？？？
116
第四节 Z交换
连续时间系统用微分方程描述，其处理工具为：L变换。采样系统用差分方程描述，其处理工具为：Z变换。Z变换是L变换的一种变形：
一、定义：
二、求Z变换方法：
1．级数求和法：
2．部分分式法：
116
3．留数法
三．Z变换定理
1．线性定理：
2．复数位移定理：
116
3．初值定理：有错极限
4．终值定理：
5．复数位移定理：
6．卷积定理：
卷积分的Z变换等于两信号Z变换的乘积
四、Z反变换
1．幂级数法
2．部分分式法：
116
3．留数法：
：第五节 采样系统的数学模型
设系统如图示：
只关心输出采样的幅值，可在输出端虚拟理想采样开关（同步工作）
116
1．开环脉冲传递函数：
具串联环节：
具零阶保持器脉动函数：
116
2．闭环系统脉动传递函数：
3．具扰动脉冲传递函数：
116
例：
设r=1(t) 求c(kT)=? T=0.5s
解：在输出的kkkk虚拟的一采样开关，闭环脉动传递函数：
116
：第六节 采样系统稳定性分析
连续系统在S平面上均具（a+bj,a<0）
Z域上单位圆内区域可找到W域上左半平面对应，利用W域中Routy判据,即可判定稳定性。
116
第七节 采样系统的稳态误差
116
小结：
（1）. 采用控制系统是将连续信号经过采样开关转变成离散信号，如果需 要将离散信号无失真地恢复连续信号，则采用频率必须满足采样定理。
（2）. 理想滤波器可以实现无失真地恢复连续信号，但实际上不存在理想 滤波器，常用的是零阶保持器。
（3）. 采用系统的数学模型是差分方程和脉冲传递函数，系统的脉冲传递 函数与采用开关的位置有关。
116
（4）. 由s域映射到z域，可以得到z域中的稳定条件和稳定判据。此外， 在ω域中还可使用连续系统的频率法、稳定域度和Bode图的校正方法。
（5）. 采用控制系统的稳态误差与输入信号和系统的类型有关。
要求：
（1）. 了解离散系统的特点；明确信号采样、复现的原理及数学描述方法； 熟悉采样定理。
（2）. 明确z变换的定义，熟练掌握z变换的有关计算方法；了解z变换的局 限性。
（3）. 熟悉差分方程的特点及求解方法；正确理解脉冲传递函数的定义， 熟练掌握由离散系统结构
图求取系统脉冲传递函数的方法。
（4）. 明确Ｓ域、Ｚ域、Ｗ域间的映射关系；熟练掌握判断离散系统稳定 性的方法。
（5）. 熟练掌握求离散系统稳态误差的方法。
（6）. 明确Ｚ平面上闭环极点分布与系统动态响应之间的关系；会用Ｚ域 根轨迹定性分析系统性能;了解离散系统动态性能计算的一般方法；了解采 样周期对系统性能的影响。
（7）. 了解在Ｗ域用频率法对离散系统进行分析校正的方法；了解最少拍 系统设计的原理及方法。
问答题
1． 采样系统和采样定理的特点？
2． Z变换与L变换的关系？
3． Ｓ域、Ｚ域、Ｗ域间的关系如何？
4． 采样系统的分析要点是什么？
5． 采样周期对采样系统的动、静态性能的影响？。
116
