大学物理13章答案

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第13章静电场中的导体和电介质13.1一带电量为q,半径为rA的金属球A,与一原先不带电、内外半径分别为rB和rC的金属球壳B同心放置,如图所示,则图中P点的电场强度如何?若用导线将A和B连接起来,则A球的电势为多少?(设无穷远处电势为零)[解答]过P点作一个同心球面作为高斯面,尽管金属球壳内侧会感应出异种,但是高斯面内只有电荷q.根据高斯定理可得E4πr2=q/ε0,可得P点的电场强度为.当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时,外侧将出现同种电荷q.用导线将A和B连接起来后,正负电荷将中和.A球是一个等势体,其电势等于球心的电势.A球的电势是球壳外侧的电荷产生的,这些电荷到球心的距离都是rc,所以A球的电势为.13.2同轴电缆是由半径为R1的导体圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的,其间充满了相对介电常数为εr的均匀电介质,设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+λ和-λ,则通过介质内长为l,半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少?圆柱面上任一点的场强为多少?DS1S2S0rR2R1εrl[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的.在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面,根据介质中的高斯定理,通过圆柱面的电位移通过等于该面包含的自由电荷,即Φd=q=λl.设高斯面的侧面为S0,上下两底面分别为S1和S2.通过高斯面的电位移通量为,可得电位移为D=λ/2πr,其方向垂直中心轴向外.电场强度为E=D/ε0εr=λ/2πε0εrr,方向也垂直中心轴向外.qobar图13.313.3金属球壳原来带有电量Q,壳内外半径分别为a、b,壳内距球心为r处有一点电荷q,求球心o的电势为多少?[解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q,不论电荷如何分布,距离球心都为a.外壳上就有电荷q+Q\n,距离球为b.球心的电势是所有电荷产生的电势叠加,大小为13.4三块平行金属板A、B和C,面积都是S=100cm2,A、B相距d1=2mm,A、C相距d2=4mm,B、C接地,A板带有正电荷q=3×10-8C,忽略边缘效应.求qABC图13.4(1)B、C板上的电荷为多少?(2)A板电势为多少?[解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2,所带电量分别为q1=σ1S和q2=σ2S,在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2,由电荷守恒得方程q=q1+q2=σ1S+σ2S.①A、B间的场强为E1=σ1/ε0,A、C间的场强为E2=σ2/ε0.设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等,设为ΔU,则ΔU=E1d1=E2d2,②即σ1d1=σ2d2.③解联立方程①和③得σ1=qd2/S(d1+d2),所以q1=σ1S=qd2/(d1+d2)=2×10-8(C);q2=q-q1=1×10-8(C).B、C板上的电荷分别为qB=-q1=-2×10-8(C);qC=-q2=-1×10-8(C).(2)两板电势差为ΔU=E1d1=σ1d1/ε0=qd1d2/ε0S(d1+d2),由于k=9×109=1/4πε0,所以ε0=10-9/36π,因此ΔU=144π=452.4(V).由于B板和C板的电势为零,所以UA=ΔU=452.4(V).Pq1q2ABq图13.5513.5一无限大均匀带电平面A,带电量为q,在它的附近放一块与A平行的金属导体板B,板B有一定的厚度,如图所示.则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少?[解答]由于板B原来不带电,两边感应出电荷后,由电荷守恒得q1+q2=0.①虽然两板是无限大的,为了计算的方便,不妨设它们的面积为S,则面电荷密度分别为\nσ1=q1/S、σ2=q2/S、σ=q/S,它们产生的场强大小分别为E1=σ1/ε0、E2=σ2/ε0、E=σ/ε0.在B板内部任取一点P,其场强为零,其中1面产生的场强向右,2面和A板产生的场强向左,取向右的方向为正,可得E1-E2–E=0,即 σ1-σ2–σ=0,或者说 q1-q2+q=0.②解得电量分别为q2=q/2,q1=-q2=-q/2.σ2σ1σ4σ3图13.613.6两平行金属板带有等异号电荷,若两板的电势差为120V,两板间相距为1.2mm,忽略边缘效应,求每一个金属板表面的电荷密度各为多少?[解答]由于左板接地,所以σ1=0.由于两板之间的电荷相互吸引,右板右面的电荷会全部吸引到右板左面,所以σ4=0.由于两板带等量异号的电荷,所以σ2=-σ3.两板之间的场强为E=σ3/ε0,而 E=U/d,所以面电荷密度分别为σ3=ε0E=ε0U/d=8.84×10-7(C·m-2),σ2=-σ3=-8.84×10-7(C·m-2).13.7一球形电容器,内外球壳半径分别为R1和R2,球壳与地面及其他物体相距很远.将内球用细导线接地.试证:球面间电容可用公式表示.(提示:可看作两个球电容器的并联,且地球半径R>>R2)oR2R1R3[证明]方法一:并联电容法.在外球外面再接一个半径为R3大外球壳,外壳也接地.内球壳和外球壳之间是一个电容器,电容为外球壳和大外球壳之间也是一个电容器,电容为.外球壳是一极,由于内球壳和大外球壳都接地,共用一极,所以两个电容并联.当R3趋于无穷大时,C2=4πε0R2.并联电容为\n.方法二:电容定义法.假设外壳带正电为q,则内壳将感应电荷q`.内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果.由于内球接地,所以其电势为零;由于内球是一个等势体,其球心的电势为,因此感应电荷为.根据高斯定理可得两球壳之间的场强为,负号表示场强方向由外球壳指向内球壳.取外球壳指向内球壳的一条电力线,两球壳之间的电势差为球面间的电容为.oR2R1εr图13.813.8球形电容器的内、外半径分别为R1和R2,其间一半充满相对介电常量为εr的均匀电介质,求电容C为多少?[解答]球形电容器的电容为.对于半球来说,由于相对面积减少了一半,所以电容也减少一半:\n.当电容器中充满介质时,电容为:.由于内球是一极,外球是一极,所以两个电容器并联:.13.9设板面积为S的平板电容器析板间有两层介质,介电常量分别为ε1和ε2,厚度分别为d1和d2,求电容器的电容.d2ε1ε2d1图13.9[解答]假设在两介质的介面插入一薄导体,可知两个电容器串联,电容分别为C1=ε1S/d1和C2=ε2S/d2.总电容的倒数为,总电容为.13.10圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R2的导体圆筒构成的,其长为l,其间充满了介电常量为ε的介质.设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ,圆筒的电荷为-λ,略去边缘效应.求:(1)两极的电势差U;(2)介质中的电场强度E、电位移D;(3)电容C,它是真空时电容的多少倍?DS1S2S0rR2R1εl[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的.在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面,侧面为S0,上下两底面分别为S1和S2.通过高斯面的电位移通量为,高斯面包围的自由电荷为q=λl,根据介质中的高斯定理Φd=q,可得电位为D=λ/2πr,方向垂直中心轴向外.电场强度为E=D/ε=λ/2πεr,\n方向也垂直中心轴向外.取一条电力线为积分路径,电势差为.电容为.在真空时的电容为,所以倍数为C/C0=ε/ε0.13.11在半径为R1的金属球外还有一层半径为R2的均匀介质,相对介电常量为εr.设金属球带电Q0,求:(1)介质层内、外D、E、P的分布;(2)介质层内、外表面的极化电荷面密度.[解答](1)在介质内,电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的.在内外半径之间作一个半径为r的球形高斯面,通过高斯面的电位移通量为高斯面包围的自由电荷为q=Q0,根据介质中的高斯定理Φd=q,可得电位为D=Q0/4πr2,方向沿着径向.用矢量表示为D=Q0r/4πr3.电场强度为E=D/ε0εr=Q0r/4πε0εrr3,方向沿着径向.由于  D=ε0E+P,所以P=D-ε0E=.在介质之外是真空,真空可当作介电常量εr=1的介质处理,所以D=Q0r/4πr3,E=Q0r/4πε0r3,P=0.(2)在介质层内靠近金属球处,自由电荷Q0产生的场为E0=Q0r/4πε0r3;极化电荷q1`产生的场强为E`=q1`r/4πε0r3;总场强为E=Q0r/4πε0εrr3.\n由于E=E0+E`,解得极化电荷为,介质层内表面的极化电荷面密度为.在介质层外表面,极化电荷为,面密度为.13.12两个电容器电容之比C1:C2=1:2,把它们串联后接电源上充电,它们的静电能量之比为多少?如果把它们并联后接到电源上充电,它们的静电能之比又是多少?[解答]两个电容器串联后充电,每个电容器带电量是相同的,根据静电能量公式W=Q2/2C,得静电能之比为W1:W2=C2:C1=2:1.两个电容器并联后充电,每个电容器两端的电压是相同的,根据静电能量公式W=CU2/2,得静电能之比为W1:W2=C1:C2=1:2.13.13一平行板电容器板面积为S,板间距离为d,接在电源上维持其电压为U.将一块厚度为d相对介电常量为εr的均匀介电质板插入电容器的一半空间内,求电容器的静电能为多少?[解答]平行板电容器的电容为C=ε0S/d,当面积减少一半时,电容为C1=ε0S/2d;另一半插入电介质时,电容为C2=ε0εrS/2d.两个电容器并联,总电容为C=C1+C2=(1+εr)ε0S/2d,静电能为W=CU2/2=(1+εr)ε0SU2/4d.13.14一平行板电容器板面积为S,板间距离为d,两板竖直放着.若电容器两板充电到电压为U时,断开电源,使电容器的一半浸在相对介电常量为εr的液体中.求:(1)电容器的电容C;(2)浸入液体后电容器的静电能;(3)极板上的自由电荷面密度.\n[解答](1)如前所述,两电容器并联的电容为C=(1+εr)ε0S/2d.(2)电容器充电前的电容为C0=ε0S/d,充电后所带电量为Q=C0U.当电容器的一半浸在介质中后,电容虽然改变了,但是电量不变,所以静电能为W=Q2/2C=C02U2/2C=ε0SU2/(1+εr)d.(3)电容器的一半浸入介质后,真空的一半的电容为C1=ε0S/2d;介质中的一半的电容为C2=ε0εrS/2d.设两半的所带自由电荷分别为Q1和Q2,则Q1+Q2=Q.①由于C=Q/U,所以U=Q1/C1=Q2/C2.②解联立方程得,真空中一半电容器的自由电荷面密度为.同理,介质中一半电容器的自由电荷面密度为.13.15平行板电容器极板面积为200cm2,板间距离为1.0mm,电容器内有一块1.0mm厚的玻璃板(εr=5).将电容器与300V的电源相连.求:(1)维持两极板电压不变抽出玻璃板,电容器的能量变化为多少?(2)断开电源维持板上电量不变,抽出玻璃板,电容器能量变化为多少?[解答]平行板电容器的电容为C0=ε0εrS/d,静电能为W0=C0U2/2.玻璃板抽出之后的电容为C=ε0S/d.(1)保持电压不变抽出玻璃板,静电能为W=CU2/2,电能器能量变化为ΔW=W-W0=(C-C0)U2/2=(1-εr)ε0SU2/2d=-3.18×10-5(J).(2)充电后所带电量为Q=C0U,保持电量不变抽出玻璃板,静电能为W=Q2/2C,电能器能量变化为\n=1.59×10-4(J).13.16设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a、b.试证明电容器能量的一半储存在半径的圆柱体内.[解答]设圆柱形电容器电荷线密度为λ,场强为E=λ/2πε0r,能量密度为w=ε0E2/2,体积元为dV=2πrldr,能量元为dW=wdV.在半径a到R的圆柱体储存的能量为.当R=b时,能量为;当时,能量为,所以W2=W1/2,即电容器能量的一半储存在半径的圆柱体内.13.17两个同轴的圆柱面,长度均为l,半径分别为a、b,柱面之间充满介电常量为ε的电介质(忽略边缘效应).当这两个导体带有等量异号电荷(±Q)时,求:(1)在半径为r(a
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