数学理卷·2018届河南省信阳市第六高级中学高二（新高三）7月摸底考试（2017

数学理卷·2018届河南省信阳市第六高级中学高二（新高三）7月摸底考试（2017

绝密★启用前 ‎2016—2017学年度下期 高二理科数学 注意事项：‎ 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．‎ 请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1、已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，则A∩∁RB=（　　）‎ A.{x|x≤0} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x＜1或x＞2} D.{x|0≤x＜1或x≥2}‎ ‎2、设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（　　）‎ A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i ‎3、已知a∈R，则“a＜‎0”‎是“|x|+|x+1|＞a恒成立”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4、一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（　　）‎ A．13，12 B．13，‎13 ‎C．12，13 D．13，14‎ ‎5、已知向量，，且，则等于（ ）‎ A. 1 B. ‎3 C. 4 D. 5‎ ‎6、如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）‎ A．a2＜ab B.﹣ab＜﹣b‎2 ‎C． D．‎ ‎7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎8、执行如图（左边7题右下）所示的程序框图，输出n的值为（　　）‎ A．19 B．‎20 ‎C．21 D．22‎ ‎9、已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（　　）‎ A．2 B．‎4 ‎C．﹣4 D．1‎ ‎10、过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F，作圆x2+y2=的一条切线，切点为E，延长FE与双曲线的右支交于点P，若E是线段FP的中点，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11、曲线y=4x﹣x3，在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（　　）‎ A．y=7x+4 B．y=x﹣‎4 ‎C．y=7x+2 D．y=x﹣2‎ ‎12、设函数f（x）=exsinπx，则方程xf（x）=f'（x）在区间（﹣2014，2016）上的所有实根之和为（　　）‎ A．2015 B．‎4030 ‎C．2016 D．4032‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13、已知a=，则二项式的展开式中的常数项为　　 ．‎ ‎14、已知实数x，y满足，则的取值范围是　　 ．‎ ‎15、一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则摸到同色球的概率为　 　．‎ ‎16、已知函数f（x）=x3+bx2+cx，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示．则下列说法中不正确的编号是　 　．（写出所有不正确说法的编号）‎ ‎（1）当x=时函数取得极小值；（2）f（x）有两个极值点；‎ ‎（3）c=6； （4）当x=1时函数取得极大值．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21‎ 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求 作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17、（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（，1），=（cosA+1，sinA），且•的值为2+．‎ ‎（1）求∠A的大小；‎ ‎（2）若a=，cosB=，求△ABC的面积．‎ ‎18、（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M是PD 的中点，AC⊥AD，BA⊥BC，PC=AC=2BC，∠ACD=∠ACB．‎ ‎（1）求证：PA⊥CM；‎ ‎（2）求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．‎ ‎19、（12分）、微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A组”，否则为“B组”，调查结果如下：‎ A组 B组 合计 男性 ‎26‎ ‎24‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎56‎ ‎44‎ ‎100‎ ‎（Ⅰ）根据以上数据，能否有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关？‎ ‎（Ⅱ）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“A组”和“B组”的人数；‎ ‎（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中在“A组”的人数为X，试求X的分布列与数学期望．‎ 参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d为样本容量．‎ 参考数据：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎20、（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个顶点为（0，﹣1），离心率e=．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过M（0，m）（﹣1＜m＜0）的直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线L如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出m的值及点T的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21、（12分）已知函数f（x）=x2﹣4x+2（1﹣a）lnx，（a∈R且a≠0）．‎ ‎（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）在区间[e，+∞）上的最小值．‎ 四、选考题：共10分。请考生在地22、23题中任选一题作答。如多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22、(10分)已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；‎ ‎（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．‎ ‎23、(10分)已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥4的解集；‎ ‎（Ⅱ）若∀x∈R，|f（x）|≤2恒成立，求a的取值范围．‎ 高二理科试卷答案 一、选择题 ‎1.C 2.B 3.A 4.B 5.D 6.B 7.A 8.B 9.C 10.A 11.D 12.B 二、填空题 ‎13.﹣84 14.[1，] 15. 16.（1）‎ 三、解答题 ‎17.【解答】解：（1）∵=2+．‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴由，得，‎ ‎∴．‎ ‎　18.【解答】（1）证明：取PA的中点N，连接MN，NC，‎ ‎∵MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD，‎ ‎∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AD，‎ 又∵AC⊥AD，PC∩AD=C，∴AD⊥平面PAC，‎ ‎∴AD⊥PA，则MN⊥PA，‎ ‎∵PC=AC，N为PA的中点，∴CN⊥PA，‎ ‎∵MN∩NC=N，∴PA⊥平面MNC，‎ 又∵CM⊂平面MNC，∴PA⊥CM；‎ ‎（2）解：设PC=AC=1，则BC=，‎ ‎∵BA⊥BC，∴cos，‎ ‎∴∠ACD=∠ACB=60°，‎ 又∵AC⊥CD，∴CD=2．‎ 以B为坐标原点，以BA、CB所在直线分别为x、y轴，以过B点和PC平行的直线为z 轴距离如图所示坐标系．‎ 则A（，0，0），C（0，﹣，0），D（，﹣，0），P（0，﹣，1），‎ ‎∴M（，﹣1，）．‎ ‎，．‎ ‎∵DA⊥平面PAC，‎ ‎∴是平面PAC的一个法向量．‎ 设是平面ACM的一个法向量，‎ 则，即，令x=1，得．‎ ‎∴|cos＜＞|=||=||=．‎ 由图可知，二面角M﹣AC﹣P为锐角，‎ ‎∴二面角M﹣AC﹣P的余弦值为．‎ ‎19.【解答】解：（1）由2×2列联表可得 K2‎‎=‎ ‎=≈0.649＜0.708；‎ 没有60%的把握认为“A组”用户与“性别”有关；‎ ‎（2）由题意得，所抽取的5位女性中，‎ ‎“A组”有5×=3人，‎ ‎“B组”有5×=2人；‎ ‎（3）X的所有可能取值为1，2，3，‎ 则P（X=1）==，‎ P（X=2）==，‎ P（X=3）==，‎ 所有X的分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 其数学期望为EX=1×+2×+3×=．‎ ‎20.【解答】解：（1）由题意，b=1， =，‎ ‎∴a=2，b=1，c=1，‎ ‎∴椭圆C的方程为=1；‎ ‎（2）①当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2=1‎ ‎②当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=m，‎ 此时以AB为直径的圆的方程为：x2+（y﹣m）2=2（1﹣m）2，与x2+y2=1联立，得y=，‎ ‎∵（x，）在椭圆上，‎ ‎∴=1，‎ ‎∵﹣1＜m＜0，∴m=﹣，∴m=﹣，在椭圆上可能存在定点T（0，1）满足条件；‎ ‎③斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx﹣，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 与椭圆方程联立，可得（1+2k2）x2﹣kx﹣=0，‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=﹣，‎ ‎=（k2+1）x1x2﹣k（x1+x2）+=（k2+1）（﹣）﹣k•+=0，‎ ‎∴过M（0，﹣）的直线l斜率存在时，以AB为直径的圆过定点T（0，1），‎ 综上所述，m=﹣时，过M（0，﹣）的直线无论如何转动，以AB为直径的圆过定点T（0，1）．‎ ‎21.【解答】解：（1）a=2时，f（x）=x2﹣4x﹣2lnx，‎ f′（x）=2x﹣4﹣=，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞1+或x＜1﹣（舍），‎ 令f′（x）＜0，解得：x＜1+，‎ 故f（x）在（0，1+）递减，在（1+，+∞）递增；‎ ‎（2）f′（x）=2x﹣4+=，‎ 令g（x）=（x﹣1）2﹣a，‎ ‎2＜a≤（e﹣1）2时，g（x）≥0，即f′（x）≥0，‎ f（x）在[e，+∞）递增，f（x）min=f（e）=e2﹣4e+2（1﹣a），‎ a＞（e﹣1）2时，令g（x）＞0，解得：x＞1+，或x＜1﹣（舍），‎ 令g（x）＜0，解得：e＜x＜1+，‎ 故f（x）在[e，1+）递减，在（1+，+∞）递增，‎ 故f（x）min=f（1+）．‎ ‎22.【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；‎ ‎（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，‎ 过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，‎ 由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．‎ ‎23.【解答】解：（Ⅰ） 由|x+1|﹣|x﹣4|≥4得：‎ ‎①或 ②或 ③，‎ 综上所述f（x）≥4的解集为．‎ ‎（Ⅱ）∀x∈R，|f（x）|≤2恒成立，可转化为|f（x）|max≤2‎ 分类讨论 ‎①当a=4时，f（x）=0≤2显然恒成立．‎ ‎②当a＜4时，f（x）=，‎ ‎③当a＞4时，f（x）=，‎ 由②③知，|f（x）|max=|a﹣4|≤2，‎ 解得2≤a≤6且a≠4，‎ 综上所述：a的取值范围为 ．‎