高中数学选修2-1公开课课件公开课使用（圆锥曲线定义的应用）

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窥探圆锥曲线之定义 湖州市练市中学 顾建伟 E-mail: gjw421@163.com 电话 : 13819229512 山重水复疑无路 柳暗花明又一村 在解题中 , 有的同学能自觉地根据问题的特点应用公式 , 定理 , 法则 ; 但 对数学定义往往未加重视 , 以至不能 及时地发现一些促进问题迅速获解的隐含条件 , 造成舍近求远 , 舍简求繁的情况 . 因此合理应用定义是寻求解题捷径的一种 重要方法 , 灵活运用圆锥曲线的定义 常常会给解题带来极大方便 , 产生一种 “ 山重水复疑无路，柳暗花明又一村” 的美好感觉 . 湖州的骄傲 The pride of Huzhou 问题 1 ： 太湖度假岛 兰香山 顾渚山 码头 如图，长兴的兰香山风景区（ Ｂ 地）在太湖度假岛（ Ａ 地）正东方向 4 km 处，顾渚山风景区（ C 地）在兰香山风 景区的北偏东 30° 方向 2 km 处 , 太湖的沿岸 PQ （曲线 ) 上 任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2 km. 现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头泊船，向 B 、 C 两地输送游客 . 经测 算 , 从 M 到 B 、 C 修建公路的费用分别是 a 万元 /km 、 两条公路的总费用最低是 ＿ ＿ 2 a 万元 /km ，那么修建这 太湖岛 兰香山 顾渚山 码头 解析 : 以 AB 所在直线 X 轴 ,AB 的垂直平分线所在直线为 y 轴建立坐标系 xoy ∴ |MA| － |MB| = 2=2a ∵ a=1,c=2,b= 由双曲线的定义知 PQ 为 双曲线 的右 支 , 则 S=a |MB|+2a|MC|=a(|MB|+2|MC|) 设总费用为 S 万元 , M 1 E o x y x F 2 P y O F 1 椭圆 上一点 P 到左焦点 F 1 的距离为 3 ，求 P 到右焦点 F 2 的距离。 变式 1: 求点 P 到左焦点距离的最值 ? 思考 : 变式 2: 求点 P 到左准线的距离 ? 问题 2: L 1 P 1 L 2 P 2 练习 3 右准线 椭圆的定义： 平面内与两个定 F 1 、 F 2 的距离的和等于常 数 （大于 |F 1 F 2 | ） 的点的轨迹叫做 椭圆 。 问题 1 ：当常数等于 |F 1 F 2 | 时，点 P 的轨迹 是什么？ 问题 2 ：当常数小于 |F 1 F 2 | 时，点 P 的轨迹 是什么？ 线段 F 1 F 2 轨迹不存在 P 是椭圆上一点，则 | PF 1 |+|PF 2 |=2a 双曲线的定义 平面内与两定点 F 1 ， F 2 的距离的差的 绝对值 等于常数（ 小于 |F 1 F 2 | ）的点的轨迹叫做 双曲线。 这 两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点 的 距离叫做双曲线的焦距 　 1 、平面内与两定点 F 1 ， F 2 的距离的差等于常数（小于 F 1 F 2 ）的点的轨迹是什么？ 双曲线的一支 两条射线 o F 2 F 1 M M 是 双曲线上一点 |MF 1 |-|MF 2 |= 　 2a 2 、若常数 2a= F 1 F 2 轨迹是什么？ 圆锥曲线的统一定义（第二定义） 若平面内一个动点 P 到一个定点 F 和一条直线 距离之 比等于一个常数 ，则动点的轨迹为圆锥曲线。 ( ) 其中定点 F 为焦点，定直线 为准线，常数 为曲线 的离心率 当 时，轨迹为椭圆； 当 时，轨迹为抛物线； 当 时，轨迹为双曲线。 用定义法解题的常见类型 类型一 利用定义法求值 类型二 利用定义法求最值 类型四 利用定义法求轨迹 类型三 利用定义法判断位置关系 例 1. 过抛物线 y 2 =4x 的焦点 F 作倾斜角为 60 0 的直线交抛物线于 A 、 B 两点，设 则 l= . B A F L x y O A’ B’ M 类型一 利用定义法求值 F T y x P o M F 1 变题探究 : 已知命题：椭圆的两个焦点为 F 1 、 F 2 ， Q 为椭圆上任意一点，从任一焦点向 ΔF 1 QF 2 的顶点 Q 的外角平分线引垂线，垂足为 P ，则点 P 的轨迹为圆（除两点），类比上述命题，将 “ 椭圆 ” 改为 “ 双曲线 ” ，则有命题 　 . O X Y F 1 F 2 Q P M F 2 F 1 M O y Q P 已知定点 M （ 3 ， 2 ）， F 是抛物线 y 2 =2x 的焦点，在此抛物线上求一点 P ，使 取得最小值，求点 P 的坐标。 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等。 即 |PF| = |PN| ∴ |PM|+|PF|= |PM|+|PN| ∴ 当 M 、 P 、 N 三点共线时距离之和最小。 F M 例 1. 如图，由抛物线的定义： 分析： F M P N |PM|+|PF| o x y o x y 类型二 利用定义法求最值 解： 如图所示 |P’F|= |P’N’| 即： |P’F|+|P’M|= |P’N’|+|P’M| ∴ |P’M|+ |P’N’| ≥ |PM|+|PN|= |PM|+|PF| 又∵点 P 的纵坐标等于点 M 的纵坐标，即 y=2 所以，点 P 的坐标为（ 2 ， 2 ） 在抛物线 y 2 = 2x 上任取一点 P ’ (x ’ ,y ’ ), 作 P ’ N ’ ⊥ 准线 L ，作 MN ⊥ L ， MN 交抛物线于 P （ x ， y ）由抛物线的定义得： 当 P’ 和 P 重合时，即 PN⊥L ， N 、 P 、 M 三点共线， F M P ’ N P N’ 已知定点 M （ 3 ， 2 ）， F 是抛物线 y 2 =2x 的焦点，在此抛物线上求一点 P ，使 |PM|+|PF| 取得最小值，求点 P 的坐标 例 1. y x M A B A 1 B 1 M 1 F 变题 . 定长为 3 的线段 AB 的两端点在抛物线 上移动， AB 的中点为 M ，求 M 到 y 轴的最短距离。 其中等号成立当且仅当 A 、 F 、 B 三点共线 N A O F 2 y x P Q 解：由于， ( 其中 d 为点Ａ到右准线的距离 ) （ P,A,Q 三点共线时最小） 所以　　　　　 的最小值为５． 拓展 2: 已知椭圆 , 定点 A(3 、 1) , 是其左右 焦点， P 是椭圆上一点。 - 4 已知双曲线 双曲线上一点。 （１）求 的最小值。 所以　　　　　　　的最小值为２． ( 其中 d 为点Ａ到右准线的距离 ) 解： F 1 F 2 O P Q A （ P,A,Q 三点共线时最小） 2|PA|+|PF 2 | |PF 2 | x y 太湖岛 兰香山 顾渚山 码头 ∴ |MA| － |MB| = 2=2a ∵ a=1,c=2,b= 由双曲线的定义知 PQ 为 双曲线 的右 支 , 由双曲线的第二定义知 则 S=a |MB|+2a|MC|=a(|MB|+2|MC|) 代入上式 : ∴ |MB|=|MD| S=2a(|MD|+|MC|) 即求 |MD|+|MC| 的最小值 (M,D,C 三点共线时最小 ) ∴ C 点的横坐标为 1+2=3 ∴|CD 1 |=3- ∴S=2a× ＝ 5a( 万元） D 设总费用为 S 万元 , M 1 D 1 E o x y =2a ( |MB|+|MC|) 数学源于生活 又服务于生活 例 1. 过抛物线 C 的焦点 F 作直线与抛物线交于 A 、 B 两点 , 研究以 AB 为直径的圆与抛物线的准线 l 的位置关系 , 并证明你的结论 . 类型三 利用定义法判断位置关系 A B F l x y O 例 1. 过抛物线 C 的焦点 F 作直线与抛物线交于 A 、 B 两点 , 研究以 AB 为直径的圆与抛物线的准线 l 的位置关系 , 并证明你的结论 . A’ B’ N A B F · l M 如图 , 设 AB 中点为 M,A 、 B 、 M 在准线 L 上的射影为 A ’ 、 B ’ 、 N, |AA’|=|AF|,|BB’|=|BF| 分析 故以 AB 为直径的圆与 l 相切 . x y O . F y o x . A B . P 以过椭圆的焦点的弦为直径的圆，和该焦点相应准线是何位置关系？ 类比： 以过双曲线的焦点的弦为直径的圆，和该焦点相应准线是何位置关系？ 探索： 相交 P . A B . x F 0 y . m n d 共同点： 利用第二定义解题 . 差异： 相离 拓展 1. 以抛物线 y 2 =2px(p>0) 的焦半径 |PF| 为直径的圆与 y 轴位置关系是 : . S F X Y O P Q N M 相切 O P F 2 F 1 变式 3. 求证：以双曲线的任意焦半径为直径的圆，与以实轴为直径的圆相切． 拓展 2. 求证：以椭圆的任意焦半径为直径的圆，与以长轴为直径的圆相切． y x O P y x Q Q F 1 F 2 例 1 ． 已知动圆 A 和圆 B:(x+3) 2 +y 2 =81 内切 , 并和圆 C:(x-3) 2 +y 2 =1 外切，求动圆圆心 A 的轨迹方程。 分析：圆内外切时圆心距与半径有何关系？ B C O y C O y A Q x P . . 0 1 0 2 外切 ＝ r 1 +r 2 . 0 1 . 0 2 内切 ＝ r 1 － r 2 类型四 利用定义法求轨迹 例 1 ． 已知动圆 A 和圆 B ： (x+3) 2 +y 2 =81 内切，并和圆 C ： (x-3) 2 +y 2 =1 外切，求动圆圆心 A 的轨迹方程。 动圆 A 和圆 B 内切，所以｜ AB ｜ =9 － R, 动圆 A 和圆 C 外切 , 所以 ｜ AC ｜ =1+R ， 所以｜ AB ｜＋ ｜ AC ｜ =9+1=10 解：设动圆Ａ的半径为Ｒ，则 由椭圆定义知 , 动圆圆心 A 的轨迹是以Ｂ , Ｃ为焦点的椭圆 , C O y A Q x P B 又 B(-3,0),C(3,0), 则 a=5,c=3,b=4 方程为： 6 4 2 -2 -4 -5 5 10 x o y A B 思考与探究 : 已知圆 ， 圆 ，若动圆 与圆 都相切，求动圆圆心 的轨迹方程 16 ) 5 ( : 2 2 = + - y x B （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 6 4 2 -2 -4 -5 5 10 x o y M A B 8 6 4 2 -2 -4 -6 -5 5 10 15 M A B 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 B M A 10 8 6 4 2 -2 -4 -5 5 10 15 M B A (X<0) (X>0) (X<0) (X>0) 16 ) 5 ( : 2 2 = + - y x B 课堂小结 1: 用定义法解题的常见类型 类型一 利用定义法求值 类型二 利用定义法求最值 类型四 利用定义法求轨迹 类型三 利用定义法判断位置关系 归纳小结 2 基本图形记得清， 定义意识要加强 . 曲线定义很重要，大家一定要记牢； 两个焦点定义一，焦点准线定义二； 课后探究： 课后练习： 2. 已知双曲线 ， 为其左、右 焦点，点 ， P 是双曲线上一点， （ 1 ）求 的最小值； （ 2 ）求 的最小值。 祝同学们学习进步！ 谢谢大家！ 授课人： 顾建伟 2012. 12. 20 Email: gjw421@163.com QQ: 　 32182382