【数学】2019届一轮复习人教A版 几何证明选讲 作业

【数学】2019届一轮复习人教A版 几何证明选讲 作业

几何证明选讲(选修4—1)‎ 一、选择题 ‎1.如图,☉O的割线PAB经过圆心O,C是圆上一点,PA=AC=AB,则以下结论不正确的是( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A.CB=CP B.PC·AC=PA·BC C.PC是☉O的切线 D.BC2=BA·BP 答案:D 解析:连接OC.‎ ‎ ‎ ‎∵AC=AB,‎ ‎∴∠B=30°,∠BAC=60°,‎ 即AC=AO=PA.‎ ‎∴A是OP的中点.‎ ‎∴∠OCP=90°,且∠P=30°,‎ 即PC是☉O的切线,∴C正确.‎ 同时CB=CP,∴A正确.‎ ‎∵AC=PA,CB=CP,∴PC·AC=PA·BC.∴B正确.‎ 又∵PC2=PA·PB,BC=CP,‎ ‎∴BC2=PA·PB.∴D错误.‎ ‎2.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,以BC为直径的圆交AB于点D,则BD的长为( )‎ ‎ ‎ A.4 B. C. D.‎ 答案:D 解析:在Rt△ABC中,AC2=AB2-BC2=25-16=9.‎ 又∵AC2=AD·AB,‎ ‎∴AD=,BD=AB-AD=.故选D.‎ 二、填空题 ‎ ‎ ‎3.(2014湖南高考,理12)如图,已知AB,BC是☉O的两条弦,AO⊥BC,AB=,BC=2,则☉O的半径等于 . ‎ 答案:‎ 解析:如下图,连接BO,由已知AO⊥BC,可得E是BC的中点,即BE=,故AE==1.‎ ‎ ‎ 在Rt△BOE中,OB2=BE2+OE2,‎ 即r2=()2+(r-1)2,解得r=.‎ ‎ ‎ ‎4.(2014湖北高考,理15)如图,P为☉O外一点,过P点作☉O的两条切线,切点分别为A,B.过PA的中点Q作割线交☉O于C,D两点.若QC=1,CD=3,则PB= . ‎ 答案:4‎ 解析:由题意知PA=PB.‎ PA切☉O于点A,由切割线定理可得QA2=QC·QD=1×(1+3)=4.‎ ‎∴QA=2,∴PA=2×2=4=PB.‎ ‎5.(2014广东肇庆第一次模拟)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,DE⊥AE,D,E为垂足,若AE=4,BE=1,则AC= . ‎ ‎ ‎ 答案:10‎ 解析:根据题意,得AB=BE+AE=5.‎ 在△ABD和△DBE中,‎ 因为∠ABD=∠DBE且∠ADB=∠DEB,‎ 所以△ABD∽△DBE,则,‎ 即BD=.‎ 因为AD⊥BD,所以由三角形勾股定理可得AD==2.‎ 又因为∠ABD=∠ABC且∠ADB=∠BAC,‎ 所以△ABD∽△CBA,则,‎ 即AC==10.‎ ‎6.如图,弦AB与CD相交于☉O内一点E,过点E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知PD=2DA=2,则PE= . ‎ ‎ ‎ 答案:‎ 解析:由题知PA=3DA=3.‎ ‎∵BC∥PE,∴∠BCD=∠PED.‎ 又∵∠BCD=∠BAD,∴∠PED=∠BAD.‎ ‎∴△EPD∽△APE,∴,‎ 即PE2=PA·PD=3×2=6.∴PE=.‎ ‎7.如图,已知PA,PB是圆O的切线,A,B分别为切点,C为圆O上不与A,B重合的另一点,若∠ACB=120°,则∠APB= . ‎ ‎ ‎ 答案:60°‎ ‎ ‎ 解析:如图,连接OA,OB,‎ 由题意知∠PAO=∠PBO=90°,‎ ‎∵∠ACB=120°,∴∠AOB=120°.‎ 又∵P,A,O,B四点共圆,‎ ‎∴∠APB=60°.‎ ‎ ‎ ‎8.如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P.若,则的值为 . ‎ 答案:‎ 解析:∵∠P=∠P,∠PCB=∠PAD,‎ ‎∴△PCB∽△PAD,∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ 三、解答题 ‎ ‎ ‎9.(2014江苏苏州高三调研)如图,MN为两圆的公共弦,一条直线与两圆及公共弦依次交于A,B,C,D,E,求证:AB·CD=BC·DE.‎ 证明:由相交弦定理,得 AC·CD=MC·NC,BC·CE=MC·NC.‎ 则AC·CD=BC·CE,‎ 即(AB+BC)·CD=BC·(CD+DE),‎ 也即AB·CD+BC·CD=BC·CD+BC·DE.‎ 故AB·CD=BC·DE.‎ ‎ ‎ ‎10.(2014课标全国Ⅰ高考,理22)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.‎ ‎(1)证明:∠D=∠E;‎ ‎(2)设AD不是☉O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.‎ ‎ ‎ 证明:(1)由题设知A,B,C,D四点共圆,‎ 所以∠D=∠CBE.‎ 由已知得∠CBE=∠E,‎ 故∠D=∠E.‎ ‎(2)设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知MN⊥BC,故O在直线MN上.‎ 又因为AD不是☉O的直径,M为AD的中点,故OM⊥AD,即MN⊥AD,‎ 所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.‎ 又因为∠CBE=∠E,故∠A=∠E.‎ 由(1)知,∠D=∠E,‎ 所以△ADE为等边三角形.‎ ‎11.(2014河北衡水中学第一次模拟)已知PQ与圆O相切于点A,直线PBC交圆于B,C两点,D是圆上一点,且AB∥CD,DC的延长线交PQ于点Q.‎ ‎ ‎ ‎(1)求证:AC2=CQ·AB;‎ ‎(2)若AQ=2AP,AB=,BP=2,求QD.‎ ‎(1)证明:∵AB∥CD,∴∠PAB=∠AQC.‎ 又∵PQ与圆O相切于点A,‎ ‎∴∠PAB=∠ACB,∴∠AQC=∠ACB.‎ ‎∵AQ为切线,∴∠QAC=∠CBA.‎ ‎∴△ACB∽△CQA.∴,‎ 即AC2=CQ·AB.‎ ‎(2)解:∵AB∥CD,AQ=2AP,‎ ‎∴.‎ 由AB=,BP=2,得QC=3,PC=6.‎ ‎∵AP为圆O的切线,‎ ‎∴AP2=PB·PC=12.‎ ‎∴QA=4.‎ 又∵QA为圆O的切线,‎ ‎∴AQ2=QC·QD,即QD=.‎ ‎ ‎ ‎12.(2014云南一模)如图,已知AB是☉O的直径,弦DF与AB垂直,H为垂足,CF与AB交于点E.‎ ‎(1)求证:PA·PB=PO·PE;‎ ‎(2)若DE⊥CF,∠P=15°,☉O的半径等于2,求弦CF的长.‎ ‎ ‎ ‎(1)证明:连接OD.‎ ‎∵AB是☉O的直径,弦DF与直径AB垂直,H为垂足,点C在☉O上,‎ ‎∴∠DOA=∠DCF,‎ ‎∴∠POD=∠PCE.‎ 又∵∠DPO=∠EPC,‎ ‎∴△PDO∽△PEC.‎ ‎∴,即PD·PC=PO·PE.‎ ‎ ‎ 由切割线定理的推论,得PA·PB=PD·PC,‎ ‎∴PA·PB=PO·PE.‎ ‎(2)解:由已知,直径AB是弦DF的垂直平分线,‎ ‎∴ED=EF,∴∠DEH=∠FEH.‎ ‎∵DE⊥CF,∴∠DEH=∠FEH=45°.‎ 由∠PEC=∠FEH=45°,∠P=15°得∠DCF=60°.‎ 由∠DOA=∠DCF得∠DOA=60°.‎ 在Rt△DHO中,OD=2,‎ DH=ODsin∠DOH=.‎ ‎∴DE=EF=,CE=.‎ ‎∴CF=CE+EF=.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎